Question

6．如圖，對稱軸為x=1的拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中A點坐標為（-1，0）設拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）M為x軸上的一點，當△MCD的周長最小時，求點M的坐標及△MCD的周長．

Answer 1

分析 解：（1）根據題意得出方程組，求出b和c的值，得出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標；
（2）求出C（0，3），得出C點關于x軸的對稱點C′（0，-3），連接C′D交x軸于M，則△MCD的周長最小，由待定系數法求出直線C′D的解析式，即可得出M（$\frac{3}{7}$，0），過D作DE⊥y軸于E，得出DE=1，CD=1，C′E=7，由勾股定理求出CD=$\sqrt{2}$，C′D=5$\sqrt{2}$，即可得出△MCD的周長最小值．

解答 解：（1）根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2×（-1）}=1}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=3，
∴拋物線的解析式為y═-x²+2x+3，
當x=1時，y=-1+2+3=4，
∴頂點D（1，4）；
（2）當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
∴C點關于x軸的對稱點C′（0，-3），
連接C′D交x軸于M，則△MCD的周長最小，CM=C′M，
設直線C′D的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴k=7，
∴y=7x-3，
當y=0時，7x-3=0，
解得：x=$\frac{3}{7}$，
∴M（$\frac{3}{7}$，0），
過D作DE⊥y軸于E，
∵C（0，3），D（1，4），
∴DE=1，CD=1，C′E=7，
∴CD=$\sqrt{2}$，C′D=5$\sqrt{2}$，
∴△MCD的周長最小值=$\sqrt{2}$+5$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線解析式的求法、軸對稱的性質、勾股定理以及最小值問題；由待定系數法求出拋物線的解析式是解決問題的關鍵．