Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于點E，∠POC=∠PCE．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求sin∠PCA的值．

Answer 1

分析：（1）要證PC是⊙O的切線，只要證∠PCO=90°即可；
（2）相似三角形的性質(zhì)及勾股定理求出⊙O的半徑；
（3）求出CE的長，BE的長，BC的長，切線的性質(zhì)知∠PCA=∠B，求出Sin∠B，即為所求．

解答：（1）證明：∵弦CD⊥AB于點E，
∴∠CEP=90°．
∵∠POC=∠PCE，∠P=∠P，
∴△POC∽△PCE，
∴∠PCO=∠CEP=90°．
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：∵OE：EA=1：2，
∴OE：OC=

1

3

，OC：OP=

1

3

．
∵PA=6，
∴⊙O的半徑=3．

（3）解：連接BC；
∵圓的半徑為3，OE：EA=1：2，
∴OE=1，
∴EC=2

2

，BE=4；
∴BC=2

6

．
∵∠PCA=∠B，
∴sin∠B=sin∠PCA=

2 2

2 6

=

3

3

．

點評：本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理及切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．