Question

如圖，將△ABC的頂點(diǎn)A放在⊙O上，現(xiàn)從AC與⊙O相切于點(diǎn)A（如圖1）的位置開始，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤30°），旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖2）．已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=6，⊙O的直徑為8．在旋轉(zhuǎn)過程中：
（1）求弧EF的長；
（2）有以下幾個(gè)量：①弦EF的長，②∠AFE的度數(shù)，③點(diǎn)O到EF的距離，其中不變的量是

①③

（填序號）；
（3）當(dāng)α=30°時(shí)，求證：BC與⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OE、OF，根據(jù)圓周角定理得∠EOF=120°，可計(jì)算出劣弧EF的長=

8

3

π；
（2）作OH⊥EF，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠A為弦切角或圓周角，且大小不變，所以其所對的弦不變，進(jìn)而利用勾股定理以及垂徑定理得出EF不變；
（3）當(dāng)α=30°時(shí)，Rt△ABC的斜邊AB經(jīng)過圓心，作OD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)平行線的判定，以及平行線分線段成比例得到OD的長即可作出判斷

解答：解：（1）連接OE、OF．
∵∠BAC=60°，
∴∠EOF=120°，
∴弧EF的長=

120π×(8÷2)

180

=

8

3

π；

（2）∵在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠A為弦切角或圓周角，且大小不變，所以其所對的弦不變；
∴①正確；
∵如圖所示，過點(diǎn)O作OM⊥EF于點(diǎn)M，
根據(jù)勾股定理得：O到EF的距離是OM=

OF2-( 1 2 EF)2

，
∵OF不變，EF不變，
∴③正確；
∵在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠AEF和∠AFE都在改變，大小不能確定，
∴②錯(cuò)誤；
故答案為：①③．

（3）如圖，∵∠BAC=60°，α=30°，
∴Rt△ABC的斜邊AB經(jīng)過圓心，
作OD⊥BC于點(diǎn)D．
∵∠BAC=60°，∠C=90°，AC=6，
∴AB=12，
∵⊙O的直徑為8，
∴AO=4，
∴BO=8，
∵OD⊥BC，∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴

OD

AC

=

BO

BA

，即

OD

6

=

8

12

，
解得OD=4，
即OD是⊙O的半徑，
∴BC與⊙O相切．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．切線的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定，平行線分線段成比例，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．