Question

（2013•玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．現(xiàn)有一點(diǎn)D，使得∠CDB=∠CAB，DB=CB．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)D的位置（保留作圖痕跡，可簡(jiǎn)要說明作法）；
（2）連接CD，與AB交于點(diǎn)E，求∠BEC的度數(shù)；
（3）以A為圓心AB長(zhǎng)為半徑作⊙A，點(diǎn)O在直線BC上運(yùn)動(dòng)，且以O(shè)為圓心r為半徑的⊙O與⊙A相切2次以上，請(qǐng)直接寫出r應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）由于∠CDB=∠CAB，點(diǎn)A與點(diǎn)D都在以BC為弦的同一圓上，則先作出Rt△ABC的外接圓⊙O，然后以B為圓心，BC為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為所求；
（2）由DB=CB得∠DCB=∠CDB，而∠CDB=∠CAB，所以∠DCB=∠CAB，再利用∠CAB+∠CBA=90°得到∠DCB+∠CBA=90°，于是得到∠BEC=90°；
（3）如圖，過C點(diǎn)的直徑為PQ，CP=2，CQ=8，當(dāng)r=8時(shí)，⊙O與⊙A外切2次，內(nèi)切1次；當(dāng)0＜r＜2時(shí)，⊙O與⊙A外切2次，內(nèi)切2次；當(dāng)r=8時(shí)，⊙O與⊙A外切2次，內(nèi)切2次；
當(dāng)r＞8時(shí)，⊙O與⊙A相切4次．

解答：解：（1），作AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑作⊙O，然后以B為圓心，BC為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)D，如圖，

即點(diǎn)D為所求
（2）∵DB=CB，
∴∠DCB=∠CDB，
又∵∠CDB=∠CAB，
∴∠DCB=∠CAB．
∵∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DCB+∠CBA=90°．
即∠BEC=90°；
（3）當(dāng)0＜r＜2時(shí)，⊙O與⊙A相切4次；
當(dāng)r=2時(shí)，⊙O與⊙A相切3次；
當(dāng)r=8時(shí)，⊙O與⊙A相切3次；
當(dāng)r＞8時(shí)，⊙O與⊙A相切4次．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：垂徑定理和圓周角定理是解決有關(guān)圓的問題常用的定理；記住兩圓的位置關(guān)系的判斷方法．