Question

如圖，點P是直線l：y=-2x-2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線y=x²于A、B兩點．
（1）若直線m的解析式為y=-x+，求A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）①若點P的坐標(biāo)為（-2，t）．當(dāng)PA=AB時，請直接寫出點A的坐標(biāo)；
②試證明：對于直線l上任意給定的一點P，在拋物線上能找到點A，使得PA=AB成立．
（3）設(shè)直線l交y軸于點C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC=∠OCP，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵點A、B是拋物線y=x²與直線y=-x+的交點，
∴x²=-x+，
解得x=1或x=-．
當(dāng)x=1時，y=1；當(dāng)x=-時，y=，
∴A（-，），B（1，1）．

（2）①∵點P（-2，t）在直線y=-2x-2上，∴t=2，∴P（-2，2）．
設(shè)A（m，m²），如答圖1所示，分別過點P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為點G、E、F．

∵PA=AB，
∴AE是梯形PGFB的中位線，
∴GE=EF，AE=（PG+BF）．
∵GE=EF=OE+OF，∴OF=GE-OE=2+2m．
∵AE=（PG+BF），∴BF=2AE-PG=2m²-2．
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵點B在拋物線y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=-1或-3，
當(dāng)m=-1時，m²=1；當(dāng)m=-3時，m²=9
∴點A的坐標(biāo)為（-1，1）或（-3，9）．
②設(shè)P（a，-2a-2），A（m，m²）．
如答圖1所示，分別過點P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為點G、E、F．
與①同理可求得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵點B在拋物線y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=16a²-8（a²-2a-2）=8a²+16a+16=8（a+1）²+8＞0，
∴無論a為何值時，關(guān)于m的方程總有兩個不相等的實數(shù)根．即對于任意給定的點P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點A，使得PA=AB成立．

（3）∵△AOB的外心在邊AB上，∴AB為△AOB外接圓的直徑，∴∠AOB=90°．
設(shè)A（m，m²），B（n，n²），
如答圖2所示，過點A、B分別作x軸的垂線，垂足為E、F，則易證△AEO∽△OFB．

∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
設(shè)直線m的解析式為y=kx+b，聯(lián)立，得：x²-kx-b=0．
∵m，n是方程的兩個根，∴mn=-b．
∴b=1．
設(shè)直線m與y軸交于點D，則OD=1．
易知C（0，-2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
設(shè)P（a，-2a-2），過點P作PG⊥y軸于點G，則PG=-a，GD=OG-OD=-2a-3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG²+GD²=PD²，
即：（-a）²+（-2a-3）²=3²，整理得：5a²+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=-，
當(dāng)a=-時，-2a-2=，
∴P（-，）．
分析：（1）聯(lián)立拋物線y=x²與直線y=-x+的解析式，求出點A、B的坐標(biāo)．
（2）①如答圖1所示，求出點P坐標(biāo)（-2，2），設(shè)A（m，m²）．作輔助線，構(gòu)造直角梯形PGFB，AE為中位線，求出點B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示），然后代入拋物線的解析式求出m的值；
②與①解題思路一致．設(shè)P（a，-2a-2），A（m，m²）．作輔助線，構(gòu)造直角梯形PGFB，AE為中位線，求出點B的坐標(biāo)（用含a、m的代數(shù)式表示），然后代入拋物線的解析式得到關(guān)于m的一元二次方程，根據(jù)其判別式大于0，可證明題中結(jié)論成立．
（3）△AOB的外心在邊AB上，則AB為△AOB外接圓的直徑，∠AOB=90°．設(shè)A（m，m²），B（n，n²）．作輔助線，證明△AEO∽△OFB，得到mn=-1．再聯(lián)立直線m：y=kx+b與拋物線y=x²的解析式，由根與系數(shù)關(guān)系得到：mn=-b，所以b=1；由此得到OD、CD的長度，從而得到PD的長度；作輔助線，構(gòu)造Rt△PDG，由勾股定理求出點P的坐標(biāo)．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、梯形及梯形中位線、勾股定理、相似三角形、一元二次方程等知識點，有一定的難度．第（2）問中，注意根的判別式的應(yīng)用，第（3）問中，注意根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．