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        1. 如圖,點(diǎn)P是直線(xiàn)l:y=-2x-2上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的另一條直線(xiàn)m交拋物線(xiàn)y=x2于A、B兩點(diǎn).
          (1)若直線(xiàn)m的解析式為y=-數(shù)學(xué)公式x+數(shù)學(xué)公式,求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
          (2)①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,t).當(dāng)PA=AB時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo);
          ②試證明:對(duì)于直線(xiàn)l上任意給定的一點(diǎn)P,在拋物線(xiàn)上能找到點(diǎn)A,使得PA=AB成立.
          (3)設(shè)直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)C,若△AOB的外心在邊AB上,且∠BPC=∠OCP,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

          解:(1)∵點(diǎn)A、B是拋物線(xiàn)y=x2與直線(xiàn)y=-x+的交點(diǎn),
          ∴x2=-x+,
          解得x=1或x=-
          當(dāng)x=1時(shí),y=1;當(dāng)x=-時(shí),y=
          ∴A(-,),B(1,1).

          (2)①∵點(diǎn)P(-2,t)在直線(xiàn)y=-2x-2上,∴t=2,∴P(-2,2).
          設(shè)A(m,m2),如答圖1所示,分別過(guò)點(diǎn)P、A、B作x軸的垂線(xiàn),垂足分別為點(diǎn)G、E、F.

          ∵PA=AB,
          ∴AE是梯形PGFB的中位線(xiàn),
          ∴GE=EF,AE=(PG+BF).
          ∵GE=EF=OE+OF,∴OF=GE-OE=2+2m.
          ∵AE=(PG+BF),∴BF=2AE-PG=2m2-2.
          ∴B(2+2m,2m2-2).
          ∵點(diǎn)B在拋物線(xiàn)y=x2上,
          ∴2m2-2=(2+2m)2
          解得:m=-1或-3,
          當(dāng)m=-1時(shí),m2=1;當(dāng)m=-3時(shí),m2=9
          ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,1)或(-3,9).
          ②設(shè)P(a,-2a-2),A(m,m2).
          如答圖1所示,分別過(guò)點(diǎn)P、A、B作x軸的垂線(xiàn),垂足分別為點(diǎn)G、E、F.
          與①同理可求得:B(2m-a,2m2+2a+2).
          ∵點(diǎn)B在拋物線(xiàn)y=x2上,
          ∴2m2+2a+2=(2m-a)2
          整理得:2m2-4am+a2-2a-2=0.
          △=16a2-8(a2-2a-2)=8a2+16a+16=8(a+1)2+8>0,
          ∴無(wú)論a為何值時(shí),關(guān)于m的方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.即對(duì)于任意給定的點(diǎn)P,拋物線(xiàn)上總能找到兩個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A,使得PA=AB成立.

          (3)∵△AOB的外心在邊AB上,∴AB為△AOB外接圓的直徑,∴∠AOB=90°.
          設(shè)A(m,m2),B(n,n2),
          如答圖2所示,過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線(xiàn),垂足為E、F,則易證△AEO∽△OFB.

          ,即,整理得:mn(mn+1)=0,
          ∵mn≠0,∴mn+1=0,即mn=-1.
          設(shè)直線(xiàn)m的解析式為y=kx+b,聯(lián)立,得:x2-kx-b=0.
          ∵m,n是方程的兩個(gè)根,∴mn=-b.
          ∴b=1.
          設(shè)直線(xiàn)m與y軸交于點(diǎn)D,則OD=1.
          易知C(0,-2),OC=2,∴CD=OC+OD=3.
          ∵∠BPC=∠OCP,∴PD=CD=3.
          設(shè)P(a,-2a-2),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G,則PG=-a,GD=OG-OD=-2a-3.
          在Rt△PDG中,由勾股定理得:PG2+GD2=PD2,
          即:(-a)2+(-2a-3)2=32,整理得:5a2+12a=0,
          解得a=0(舍去)或a=-
          當(dāng)a=-時(shí),-2a-2=,
          ∴P(-,).
          分析:(1)聯(lián)立拋物線(xiàn)y=x2與直線(xiàn)y=-x+的解析式,求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo).
          (2)①如答圖1所示,求出點(diǎn)P坐標(biāo)(-2,2),設(shè)A(m,m2).作輔助線(xiàn),構(gòu)造直角梯形PGFB,AE為中位線(xiàn),求出點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示),然后代入拋物線(xiàn)的解析式求出m的值;
          ②與①解題思路一致.設(shè)P(a,-2a-2),A(m,m2).作輔助線(xiàn),構(gòu)造直角梯形PGFB,AE為中位線(xiàn),求出點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含a、m的代數(shù)式表示),然后代入拋物線(xiàn)的解析式得到關(guān)于m的一元二次方程,根據(jù)其判別式大于0,可證明題中結(jié)論成立.
          (3)△AOB的外心在邊AB上,則AB為△AOB外接圓的直徑,∠AOB=90°.設(shè)A(m,m2),B(n,n2).作輔助線(xiàn),證明△AEO∽△OFB,得到mn=-1.再聯(lián)立直線(xiàn)m:y=kx+b與拋物線(xiàn)y=x2的解析式,由根與系數(shù)關(guān)系得到:mn=-b,所以b=1;由此得到OD、CD的長(zhǎng)度,從而得到PD的長(zhǎng)度;作輔助線(xiàn),構(gòu)造Rt△PDG,由勾股定理求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
          點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題型,考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、梯形及梯形中位線(xiàn)、勾股定理、相似三角形、一元二次方程等知識(shí)點(diǎn),有一定的難度.第(2)問(wèn)中,注意根的判別式的應(yīng)用,第(3)問(wèn)中,注意根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          6
          x
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          A、4
          7
          B、5
          C、2
          7
          D、
          22

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          20、如圖,點(diǎn)O是直線(xiàn)AB上一點(diǎn),OC平分∠AOB,在直線(xiàn)AB另一側(cè)以O(shè)為頂點(diǎn)作∠DOE=90°
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          42°
          ;∠AOE與∠DOB的關(guān)系是
          互余

          (2)∠AOE與∠COD有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由.

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          (2)過(guò)點(diǎn)Q作QC∥m交直線(xiàn)PA于點(diǎn)C;
          (3)過(guò)點(diǎn)Q作直線(xiàn)m的垂線(xiàn)段QB,垂足為B;
          (4)點(diǎn)Q到直線(xiàn)m的距離是線(xiàn)段
          QB
          QB
          的長(zhǎng)度;
          (5)點(diǎn)Q到直線(xiàn)PA的距離是線(xiàn)段
          QC
          QC
          的長(zhǎng)度.

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