Question

1．已知直線L過(guò)點(diǎn)（2，4），且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰三角形．求：
（1）該直線的函數(shù)解析式；
（2）所得三角形的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出直線L的斜率為±1，設(shè)直線L的析式為y=-x+b，代入（2，4）點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）根據(jù)解析式求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求得斜邊的長(zhǎng)，即可求得周長(zhǎng)和面積．

解答 解：（1）∵直線L與兩坐標(biāo)軸圍成等腰三角形，
∴直線L的斜率為±1，
設(shè)直線L的解析式為y=±x+b，
∵直線L過(guò)（2，4）點(diǎn)，
∴4=±2+b，
解得b=6或b=2，
∴該直線的函數(shù)解析式為y=-x+6或y=x+2；
（2）①∵直線L的函數(shù)解析式為y=-x+6，
∴令y=0，則x=6，令x=0，則y=6，
∴直線L與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（6，0）和（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴所得三角形的周長(zhǎng)=6+6+6$\sqrt{2}$=12+6$\sqrt{2}$，
面積=$\frac{1}{2}$×6×6=18；
②∵直線L的函數(shù)解析式為y=x+2，
∴令y=0，則x=2，令x=0，則y=-2，
∴直線L與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（-2，0）和（0，2），
∴OA=OB=2，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴所得三角形的周長(zhǎng)=2+2+2$\sqrt{2}$=4+2$\sqrt{2}$，
面積=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
故所得三角形的周長(zhǎng)為12+6$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$，面積是18或2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求得直線的斜率是解題的關(guān)鍵．