Question

【題目】如圖1，圖形ABCD是由兩個(gè)二次函數(shù)y1=kx2+m（k＜0）與y2=ax2+b（a＞0）的部分圖象圍成的封閉圖形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．

（1）直接寫(xiě)出這兩個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）判斷圖形ABCD是否存在內(nèi)接正方形（正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在圖形ABCD上），并說(shuō)明理由；

（3）如圖2，連接BC，CD，AD，在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得△BDC與△ADE相似（其中點(diǎn)C與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)）的點(diǎn)E的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）y1=﹣x2+1，y2=3x2﹣3；（2）存在，理由見(jiàn)解析；（3）（0，﹣）或（，﹣1）或（1，﹣）或（﹣，﹣2）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）先確定出MM'=（1-m2）-（3m2-3）=4-4m2，進(jìn)而建立方程2m=4-4m2，即可得出結(jié)論；

（3）先利用勾股定理求出AD=，同理：CD=，BC=，再分兩種情況：

①如圖1，當(dāng)△DBC∽△DAE時(shí)，得出，進(jìn)而求出DE=，即可得出E（0，-），

再判斷出△DEF∽△DAO，得出，求出DF=，EF=，再用面積法求出E'M=，即可得出結(jié)論；

②如圖2，當(dāng)△DBC∽△ADE時(shí)，得出，求出AE=，

當(dāng)E在直線AD左側(cè)時(shí)，先利用勾股定理求出PA=，PO=，進(jìn)而得出PE=，再判斷出，即可得出點(diǎn)E坐標(biāo)，當(dāng)E'在直線DA右側(cè)時(shí)，即可得出結(jié)論．

（1）∵點(diǎn)A（1，0），B（0，1）在二次函數(shù)y1=kx2+m（k＜0）的圖象上，

∴，

∴，

∴二次函數(shù)解析式為y1=-x2+1，

∵點(diǎn)A（1，0），D（0，-3）在二次函數(shù)y2=ax2+b（a＞0）的圖象上，

∴，

∴，

∴二次函數(shù)y2=3x2-3；

（2）設(shè)M（m，-m2+1）為第一象限內(nèi)的圖形ABCD上一點(diǎn)，M'（m，3m2-3）為第四象限的圖形上一點(diǎn)，

∴MM'=（1-m2）-（3m2-3）=4-4m2，

由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知，若有內(nèi)接正方形，

∴2m=4-4m2，

∴m=或m=（舍），

∵0＜＜1，

∴存在內(nèi)接正方形，此時(shí)其邊長(zhǎng)為；

（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，

∴AD=，

同理：CD=，

在Rt△BOC中，OB=OC=1，

∴BC=，

①如圖1，當(dāng)△DBC∽△DAE時(shí)，

∵∠CDB=∠ADO，

∴在y軸上存在E，由，

∴，

∴DE=，

∵D（0，-3），

∴E（0，-），

由對(duì)稱(chēng)性知，在直線DA右側(cè)還存在一點(diǎn)E'使得△DBC∽△DAE'，

連接EE'交DA于F點(diǎn)，作E'M⊥OD于M，連接E'D，

∵E，E'關(guān)于DA對(duì)稱(chēng)，

∴DF垂直平分EE'，

∴△DEF∽△DAO，

∴，

∴，

∴DF=，EF=，

∵S△DEE'=DEE'M=EF×DF=，

∴E'M=，

∵DE'=DE=，

在Rt△DE'M中，DM=

∴OM=1，

∴E'（，-1），

②如圖2，

當(dāng)△DBC∽△ADE時(shí)，有∠BDC=∠DAE，，

∴，

∴AE=，

當(dāng)E在直線AD左側(cè)時(shí)，設(shè)AE交y軸于P，作EQ⊥AC于Q，

∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，

∴PD=PA，

設(shè)PD=n，

∴PO=3-n，PA=n，

在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2，

∴n2=（3-n）2+1，

∴n=，

∴PA=，PO=，

∵AE=，

∴PE=，

在AEQ中，OP∥EQ，

∴，

∴OQ=，

∵，

∴QE=2，

∴E（-，-2），

當(dāng)E'在直線DA右側(cè)時(shí)，

根據(jù)勾股定理得，AE=，

∴AE'=

∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，

∴∠BDA=∠DAE'，

∴AE'∥OD，

∴E'（1，-），

綜上，使得△BDC與△ADE相似（其中點(diǎn)C與E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)）的點(diǎn)E的坐標(biāo)有4個(gè)，

即：（0，-）或（，-1）或（1，-）或（-，-2）．