Question

如圖1，已知BC是圓O的直徑，線段RQ∥BC，A是RQ上的任意一點(diǎn)，AF與圓O相切于點(diǎn)F，連接AB與圓O相交于點(diǎn)M，D是AB上一點(diǎn)，AD=AF，DE垂直于AB并與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)A處于圖2中A₀的位置時(shí)，A₀C與圓O相切于點(diǎn)C，求證：△A₀DE≌△A₀CB；
（2）當(dāng)點(diǎn)A處于圖3中A₁的位置時(shí)，A₁F：A₁E=1：2，．求角BCA₁的大��；
（3）圖1中，若BC=4，RQ與BC的距離為3，那么△ADE的面積S與點(diǎn)A的位置有沒(méi)有關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵A₀F、A₀C都是圓的切線，
∴A₀F=A₀C，
又∵A₀F=A₀D，∴A₀C=A₀D；
∵∠DA₀E=∠CA₀B，∠EDA₀=∠BCA₀=90°，
∴△A₀DE≌△A₀CB．

（2）解：連接CM，則CM⊥A₁B；
∵A₁F=A₁D，且A₁F：A₁E=1：2，
∴A₁D：A₁E=1：2，即∠MA₁C=60°，∠A₁CM=30°；
設(shè)A₁C=x，則CM=x，BC=x；
在Rt△BCM中，BC：CM=x：x=：1，
∴∠BCM=45°，
∴∠BCA₁=∠BCM+∠A₁CM=75°．

（3）解：①當(dāng)AE與圓相切時(shí)，由（1）可知：△ADE≌△ACB，
此時(shí)S_△ADE=S_△ABC；

②當(dāng)AE與圓相交時(shí)，設(shè)AE與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，連接BN，CM；
由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切線長(zhǎng)定理：AF²=AM×AB，
得：AM：AF=AF：AB，
∴CM：DE=AF：AB，
∴AF•DE=AB•MC，
∴AD•DE=AB•MC，
∴AD•DE=AB•MC=S_△ABC，
由于A點(diǎn)在平行于AB的直線上運(yùn)動(dòng)，因此△ABC的面積為定值，且S_△ABC=×4×3=6；
故△ADE的面積S與A的位置無(wú)關(guān)，且恒為6．
分析：（1）由于A₀F、A₀C都是圓的切線，由切線長(zhǎng)定理知：A₀F=A₀C，由此可得A₀D=A₀C，再加上公共角∠BA₀E、一組直角，即可證得所求的三角形全等．
（2）連接CM，則CM⊥A₁B，已知A₁F：A₁E=1：2，即A₁D：A₁E=1：2，由此可求得∠DA₁E=60°，∠A₁CM=30°；首先用未知數(shù)表示出A₁C、BC的長(zhǎng)，在Rt△A₁CM中，根據(jù)∠MA₁C的度數(shù)可表示出CM的值，進(jìn)而可在Rt△BCM中，根據(jù)CM、BC的值求出∠BCM的度數(shù)，由此得解．
（3）此題應(yīng)分兩種情況討論：
①如圖2的情況，即AE與圓相切，此時(shí)△ABC≌△ADE，因此△ADE的面積等于△ABC的面積；
②如圖1、3的情況，即AE與圓相交，設(shè)AE與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，連接BN、CM，由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切線長(zhǎng)定理：AF²=AM×AB，由于A點(diǎn)在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，所以△ABC的面積是不變的，因此△ADE的面積也不變，即S與A的位置無(wú)關(guān)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形以及全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法等知識(shí)，難度較大．