Question

已知一次函數(shù)y=

3

x+m（O＜m≤1）的圖象為直線l，直線l繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得直線l′，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-

3

，-1）、B（

3

，-1）、C（O，2）．
（1）求直線l′的解析式（可以含m）；
（2）如圖，l、l′分別與△ABC的兩邊交于E、F、G、H，四邊形EFGH的面積記為S，試求m與S的關(guān)系式，并求S的變化范圍；
（3）若m=1，當(dāng)△ABC分別沿直線y=x與y=

3

x平移時(shí)，判斷△ABC介于直線l，l′之間部分的面積是否改變？若不變請(qǐng)指出來；若改變請(qǐng)直接寫出面積變化的范圍．（本小題不必說明理由）

Answer 1

分析：（1）先在直線l上取兩點(diǎn)，再分別得出這兩點(diǎn)繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出l′的解析式；
（2）先運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)求出EF、GH的長度，再根據(jù)梯形的面積公式求解；
（3）根據(jù)平移的知識(shí)可知：沿y=

3

x平移時(shí)，面積不變；沿y=x平移時(shí)，面積改變，設(shè)其面積為S'．顯然，如果△ABC與l、l′沒有交點(diǎn)，則面積S′取最小值0；由于m=1時(shí)，△ABC介于直線l，l′之間的部分是一個(gè)梯形，l與l′之間的距離是1，即梯形的高是1，則當(dāng)EF+GH取最大值時(shí)，S′有最大值，此時(shí)直線l與l′中有一條過點(diǎn)C，且F、G落在△ABC的同一邊上，可求S′=

5 3

3

，則0≤S'≤

5 3

3

．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=

3

x+m（O＜m≤1）與x軸交于點(diǎn)M（-

3

3

m，0），與y軸交于點(diǎn)N（0，m），
∴點(diǎn)M、N繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′（

3

3

m，0），與y軸交于點(diǎn)N（0，-m），
由題意，知M′、N′在直線l′上，
運(yùn)用待定系數(shù)法易得直線l′的解析式為y=

3

x-m；

（2）∵A（-

3

，-1）、C（O，2），∴直線AC的解析式為y=

3

x+2，
又∵直線l的解析式為y=

3

x+m，直線l′的解析式為y=

3

x-m，
∴l(xiāng)∥l′∥AC．
∵A（-

3

，-1）、B（

3

，-1）、C（O，2），
∴AB=BC=CA=2

3

，
∴△ABC是等邊三角形．
∵當(dāng)y=-1時(shí)，

3

x+m=-1，x=

- 3 - 3 m

3

，∴E（

- 3 - 3 m

3

，-1），BE=

3

-

- 3 - 3 m

3

=

4 3 + 3 m

3

，
當(dāng)y=-1時(shí)，

3

x-m=-1，x=

- 3 + 3 m

3

，∴H（

- 3 + 3 m

3

，-1），BH=

3

-

- 3 + 3 m

3

=

4 3 - 3 m

3

，
∵l∥AC，△ABC是等邊三角形，∴△BEF是等邊三角形，EF=BE=

4 3 + 3 m

3

，
同理，HG=BH=

4 3 - 3 m

3

．
過點(diǎn)O作OD⊥MN于D，則2OD是梯形EFGH的高．
∵點(diǎn)M（-

3

3

m，0），點(diǎn)N（0，m），∴MN=

2 3 m

3

．
在△OMN中，由面積公式，得OD=

OM•ON

MN

=

1

2

m，∴2OD=m，
∴梯形EFGH的面積S=

1

2

（EF+GH）•2OD=

1

2

m（

4 3 + 3 m

3

+

4 3 - 3 m

3

）=

4 3

3

m，
∵

4 3

3

＞0，
∴S隨m的增大而增大，
又∵0＜m≤1，
∴0＜S≤

4 3

3

；

（3）如果△ABC沿直線y=

3

x平移，由平移的知識(shí)可知面積不變；
如果△ABC沿直線y=x平移，面積改變，設(shè)其面積為S'，
易知S′最小值為0，S′取最大值時(shí)，直線l與l′中有一條過點(diǎn)C，且F、G落在△ABC的同一邊上，
如圖所示，此時(shí)求得S'=

5 3

3

．
則0≤S'≤

5 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的利用平移的性質(zhì)和特點(diǎn)再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．