Question

加試題：
如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，3），點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2
個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP垂直于X軸于點(diǎn) P，連接AC交NP于點(diǎn)Q，連接MQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是

（1，3）

；
（2）使線段AQ，QM，MA能圍成三角形的t的取值范圍是

0＜t＜2

；
（3）求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；
（4）是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)M，N運(yùn)動(dòng)的速度可以得出，當(dāng)M移動(dòng)到A處時(shí)，NB=2，進(jìn)而得出N點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)線段AQ，QM，MA能圍成三角形，進(jìn)而得出t的取值范圍；
（3）由三角形面積公式直接寫出含有t的二次函數(shù)關(guān)系式；
（4）分類討論直角三角形的直角頂點(diǎn)，然后解出t，求得M坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，
同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．
∴當(dāng)M移動(dòng)到A處時(shí)，NB=2，
∴動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)是：（1，3）；

（2）∵AC交NP于點(diǎn)Q，
∴線段AQ，QM，MA要圍成三角形，
∴t的取值范圍是：0＜t＜2；

（3）S_△AMQ=

1

2

AM•PQ=

1

2

（4-2t）（1+t）=-t²+t+2．

（4）存在使△AQM為直角三角形的點(diǎn)M．
∵∠AOC=90°，OA=4，OC=3，
∴sin∠OAC=

3

4

，
即點(diǎn)A不可能為Rt△AQM的直角頂點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)．（如圖①）
∵∠MQA=90°，∠MAQ=45°∴MQ=QA
∵QP⊥AM，
∴AP=MP=PQ，
即

4-2t

2

=t+1，
∴t=

1

2

則M（1，0）．
②當(dāng)點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)．（如圖②）
∵∠QMA=90°，∠MAQ=45°，
∴MQ=MA
即4-2t=t+1，
∴t=1，則M（2，0）．
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角梯形的性質(zhì)以及函數(shù)關(guān)系式求法等知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圖形的面積，滲透分類討論的思想，使問題綜合性增強(qiáng)．