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        1. 【題目】如圖,在RtABC中,C=90°,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),且A+CDB=90°,過點(diǎn)A,D作O,使圓心O在AB上,O與AB交于點(diǎn)E.

          (1)求證:直線BD與O相切;

          (2)若AD:AE=4:5,BC=6,求O的直徑.

          【答案】(1)見解析;(2)5.

          【解析】

          試題分析:(1)連接OD、DE,求出A=ADO,求出ADO+CDB=90°,求出ODB=90°,根據(jù)切線的判定推出即可;

          (2)求出ADE=90°=C,推出BCDE,得出E為AB中點(diǎn),推出AE=AB,DE=BC=3,設(shè)AD=4a,AE=5a,由勾股定理求出DE=3a=3,求出a=1,求出AE即可.

          (1)證明:連接OD、DE,

          OA=OD

          ∴∠A=ADO,

          ∵∠A+CDB=90°,

          ∴∠ADO+CDB=90°,

          ∴∠ODB=180°﹣90°=90°,

          ODBD,

          ODO半徑,

          直線BD與O相切;

          (2)解:AEO直徑,

          ∴∠ADE=90°=C,

          BCDE

          ∴△ADE∽△ACB,

          =

          D為AC中點(diǎn),

          AD=DC=AC,

          AE=BE=AB,

          DE是ACB的中位線,

          AE=AB,DE=BC=×6=3,

          設(shè)AD=4a,AE=5a,

          在RtADE中,由勾股定理得:DE=3a=3,

          解得:a=1,

          AE=5a=5,

          答:O的直徑是5.

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