Question

如圖，點(diǎn)A是半徑為12cm的⊙O上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2π cm/s的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P回到點(diǎn)A立即停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B是OA延長線上的一點(diǎn)，AB=OA，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）如果∠POA=90°，求t的值； 
（2）當(dāng)BP與⊙O相切時(shí)，求t的值．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△POB為銳角三角形？鈍角三角形？（只要寫出結(jié)果，不要求寫過程）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)∠POA=90°時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長的

1

4

或

3

4

，所以分兩種情況進(jìn)行分析；
（2）根據(jù)題意畫出圖形再解答，分兩種情況分別計(jì)算弧長后求解；
（3）結(jié)合（2）的解題過程和圖形直接回答．

解答：解：（1）當(dāng)∠POA=90°時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長的

1

4

或

3

4

，
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長的

1

4

時(shí)，2π•t=

1

4

•2π•12，
解得t=3；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長的

3

4

時(shí)，2π•t=

3

4

•2π•12，
解得t=9；
∴當(dāng)∠POA=90°時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3s或9s；

（2）解：如圖，連接OP，則OP=12cm，OB=24cm．
在Rt△OPB中，OP=

1

2

OB，故∠BOP=60°．

AP

的長l=

60π×12

180

=4π，
故當(dāng)t=

4π

2π

=2s時(shí)，BP與⊙O相切；
同理當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P′時(shí)，∠AOP′=360°-60°=300°．優(yōu)弧

APP′

=

300π×12

180

=20π，
故當(dāng)t=

20π

2π

=10s時(shí)，BP與⊙O相切．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s或10s時(shí)，BP與⊙O相切；

（3）由（1）、（2）知，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3s或9s或2s或10s時(shí)，△POB為直角三角形．
如圖，當(dāng)0＜t＜2、3＜t＜6、6＜t＜9、10＜t＜12時(shí)，△POB為鈍角三角形；
當(dāng)2＜t＜3、9＜t＜10△POB為銳角三角形．

點(diǎn)評：本本題考查的是圓的綜合題．其中涉及到了鈍角三角形與銳角三角形的判定的，切線的性質(zhì)及弧長公式，解答（2）題時(shí)要注意過圓外一點(diǎn)有兩條直線與圓相切，不要漏解．