Question

（2006•荊門）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，3），B（4，0），設(shè)P、Q分別是線段AB、OB上的動點，它們同時出發(fā)，點P以每秒3個單位的速度從點A向點B運動，點Q以每秒1個單位的速度從點B向點O運動．設(shè)運動時間為t（秒）．
（1）用含t的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時，△OPQ為直角三角形？
（3）在什么條件下，以Rt△OPQ的三個頂點能確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線？選擇一種情況，求出所確定的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）作PM⊥y軸，PN⊥x軸，那么PM就是P點的橫坐標(biāo)，PN就是P點的縱坐標(biāo)．然后可通過相似三角形AMP和AOB求出MP的長，同理可通過相似三角形BPN和BAP求出PN的長，即可得出P點的坐標(biāo)．
（2）本題要分情況進行討論：
①當(dāng)∠POQ=90°時，P，A重合此時t=0；
當(dāng)∠OPQ=90°時，可根據(jù)射影定理得出PN²=ON•NQ，由此可求出t的值．
當(dāng)∠OPQ=90°時，Q，N重合，可用BQ的長表示出P點的橫坐標(biāo)，以此可求出t的值．
（3）很顯然當(dāng)∠OPQ=90°時，可確定一條符合條件的拋物線，可根據(jù)（2）中得出的∠OPQ=90°時t的取值，確定出P，Q的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出這條拋物線的解析式．
解答：解：（1）作PM⊥y軸，PN⊥x軸．
∵OA=3，OB=4，
∴AB=5．
∵PM∥x軸，
∴，
∴，
∴PM=t．
∵PN∥y軸，
∴，
∴，
∴PN=3-t，
∴點P的坐標(biāo)為（t，3-t）．

（2）①當(dāng)∠POQ=90°時，t=0，△OPQ就是△OAB，為直角三角形．
②當(dāng)∠OPQ=90°時，△OPN∽△PQN，
∴PN²=ON•NQ．
（3-t）²=t（4-t-t）．
化簡，得19t²-34t+15=0，
解得t=1或t=．
③當(dāng)∠OQP=90°時，N、Q重合．
∴4-t=t，
∴t=．
綜上所述，當(dāng)t=0，t=1，t=，t=時，△OPQ為直角三角形．

（3）當(dāng)t=1或t=時，即∠OPQ=90°時，
以Rt△OPQ的三個頂點可以確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線．
當(dāng)t=1時，點P、Q、O三點的坐標(biāo)分別為P（，），Q（3，0），O（0，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-0），
即y=a（x²-3x）．
將P（，）代入上式，
得a=-．
∴y=-（x²-3x）．
即y=-x²+x．
說明：若選擇t=時，點P、Q、O三點的坐標(biāo)分別是P（，），Q（，0），O（0，0）．
求得拋物線的解析式為y=-x²+x．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、直角三角形的判定等知識點，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．