Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為y軸．一次函數(shù)y=kx+1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，4）．平行于x軸的直線l過(guò)（0，-1）點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移t個(gè)單位（t＞0），二次函數(shù)的圖象與x軸交于M，N兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交y軸于F點(diǎn)．當(dāng)t為何值時(shí)，過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓的面積最�。孔钚∶娣e是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=ax²，把A（-4，4）代入求出a代入一次函數(shù)求出k，即可得到答案；
（2）求出B、O的坐標(biāo)，求出OA和O到直線y=-1的距離即可得出答案；
（3）作MN的垂直平分線，△FMN外接圓的圓心O在直線上，求出MN、DN，根據(jù)勾股定理求出O'F=O'N的圓心坐標(biāo)的縱坐標(biāo)Y，求出y取何值時(shí)r最小，即可求出答案．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=ax²（a≠0），
把A（-4，4）代入得：4=16a，
a=，
∴y=x²，
把A（-4，4）代入y=kx+1得：4=-4k+1，
∴k=-，
∴y=-x+1，
答：一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式分別為y=-x+1，y=x²．

（2）答：以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系是相切．
證明：得：，，
∴B（1，），
AB的中點(diǎn)O的坐標(biāo)是（-，），
OA==，
O到直線y=-1的距離是+1==0B，
∴以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系是相切．

（3）解：作MN的垂直平分線，△FMN外接圓的圓心O在直線上，
由于平移后的拋物線對(duì)稱軸為x=2，對(duì)稱軸交x軸于D，
F（0，1），平移后二次函數(shù)的解析式是y=（x-2）²-t，即y=x²-x+1-t，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-x+1-t=0，
設(shè)M（e，0），N（f，0），N在M的右邊，
則e+f=-=4，e•f==4-4t，
∴MN=f-e==4，
MD=2，
設(shè)圓心坐標(biāo)（2，y），根據(jù)OF=ON，
∴=，
y=-2t，
r==，
當(dāng)t=時(shí)，半徑有最小值2，圓面積最小為4π，
答：當(dāng)t為時(shí)，過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓的面積最小，最小面積是4π．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，勾股定理，二次函數(shù)的最值，直線與圓的位置關(guān)系，解二元二次方程組等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．