Question

（2013•順義區(qū)二模）如圖，直線(xiàn)MN與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)O，點(diǎn)C和點(diǎn)D在直線(xiàn)MN上，且∠ACN=∠BDN=45°

（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，且AO=OB，請(qǐng)寫(xiě)出AC與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）將圖1所示中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，AO=OB，（1）中的AC與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將圖2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到如圖3，求

AC

BD

．

Answer 1

分析：（1）由∠AON=∠DOB，∠AON=∠BDN=45°，就可以得出∠BOD=∠BDO=45°，就有BD=BC，∠DBC=90°，就可以得出結(jié)論．
（2）作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，由對(duì)頂角的性質(zhì)就可以求出∠G=90°，就有BD⊥AC，根據(jù)條件可以得出△AOE≌△BOF，就可以得出AE=BF，進(jìn)而可以得出△ACE≌△BDF，就可以得出AC=BD．
（3）作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，就有△AEO∽△BFO，就可以得出

AE

BF

=

AO

BO

=

1

k

，再由△ACE∽△BDF，就可以得出

AE

BF

=

AC

BD

=

1

k

而求出結(jié)論．

解答：解：（1）AC=BD，BD⊥AC
理由：∵∠AON=∠DOB，且∠ACN=∠BDN=45°
∴∠BOD=∠BDO=45°．
∴BD=BC．
∵AC=BC，
∴AC=BD．
∵∠BOD+∠BDO+∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴BD⊥AC．

（2）AC=BD，BD⊥AC
理由：作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°．
∵∠ACN=∠GCM，且∠ACN=∠BDN=45°，
∴∠GCM=45°，
∴∠G=90°，
∴AC⊥DB．
在△AOE和△BOF中

∠AEO=∠BFO ∠AOE=∠BOF AO=BO

，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=BF．
在△ACE和△BDF中

∠ACN=∠BDN ∠AEC=∠BFD AE=BF

，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴AC=BD；

（3）作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°．
∵∠AOE=∠BOF，
∴△AEO∽△BFO，
∴

AE

BF

=

AO

BO

=

1

k

．
∵∠ACN=∠BDN，∠AEC=∠BFD，
∴△ACE∽△BDF，
∴

AE

BF

=

AC

BD

=

1

k

．
答：

AC

BD

=

1

k

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定就性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等和相似是關(guān)鍵．