Question

【題目】在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）如圖①，直接用含的代數(shù)式分別表示：　 　，______，

（2）如圖②，

①當(dāng)_____秒時(shí)，四邊形為平行四邊形．

②是否存在的值，使四邊形為菱形？若存在，寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)求出當(dāng)點(diǎn)的速度（勻速運(yùn)動(dòng)）變?yōu)槊棵攵嗌賯�(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，才能使四邊形在某一時(shí)刻成為菱形？

（3）設(shè)的外接圓面積為，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并判斷當(dāng)最小時(shí)，的外接圓與直線的位置關(guān)系，并且說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）①，②不存在菱形，詳見(jiàn)解析；（3）的外接圓與直線相交．詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得到CQ=2t，AP=t，求出BQ，證明△ADP∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PD；
（2）①根據(jù)平行四邊形的判定方法列出關(guān)于t的方程，解方程即可；

②根據(jù)菱形的判定方法列出關(guān)于t的方程，解方程，看是否符合題意；

（3）于，于，于，連接、、，由勾股定理找到與的函數(shù)關(guān)系式，并求得S最小時(shí)，t的值，從而求出OM的長(zhǎng)，再判斷圓與直線的位置關(guān)系.

（1）由題意得，CQ=2t，AP=t，
則BQ=8-2t，
∵DP⊥AC，BC⊥AC，
∴PD∥BC，
∴△ADP∽△ABC，
∴=，即=，
解得PD=
故答案為：8-2t；；

（2）①∵PD∥BC，
∴當(dāng)PD=BQ時(shí)，四邊形PDBQ為平行四邊形，
∴8-2t=
解得t=，
則當(dāng)t=時(shí)，四邊形PDBQ為平行四邊形；

②不存在菱形，

設(shè)點(diǎn)的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度．

則，，．

要使四邊形是菱形，則．

當(dāng)，即．解得．

當(dāng)，時(shí)，即，解得．

∴當(dāng)點(diǎn)的速度為每秒個(gè)單位時(shí)，經(jīng)過(guò)秒，四邊形是菱形．

（3）如圖，是的外接圓的圓心，作于，于，于，連接、、．

∵

∴；

∴時(shí)，取最小值．

此時(shí)，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴的外接圓與直線相交．