Question

已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O外的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，AB=2．
（1）如圖1，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，當(dāng)DE也AC滿足什么關(guān)系時(shí)，DE是⊙O的切線？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖2，AC是⊙O的切線，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)DE∥AB．①求

AB•AD

AB+AD

的值；②求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）若DE是圓的切線，則連接OD，OD應(yīng)垂直于DE，再根據(jù)三角形的中位線定理得到OD∥AC，所以DE⊥AC，反之成立；
（2）①中，連接OD，根據(jù)平行線等分線段定理，得到D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的性質(zhì)得到DE⊥AC，結(jié)合（1）的結(jié)論，則DE也是圓的切線，從而得到OD⊥DE，根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形得到正方形AEDO，從而發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形AOD和ADB，根據(jù)AB=2，即可求得AD的長(zhǎng)，進(jìn)一步計(jì)算；
②中，陰影部分的面積顯然是正方形AEDO的面積減去扇形OAD的面積，根據(jù)①中的結(jié)論即可計(jì)算．

解答：解：（1）如圖所示，
當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE是⊙O的切線（1分）
證明：連接OD
∵AB是⊙O的直徑
∴AO=OB
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)
∴BD=DC，
∴OD是△ACB的中位線，
∴OD∥AC   （2分）
∴DE⊥OD
即DE是⊙O的切線（3分）

（2）①∵AC為⊙O的切線
∴AC⊥AB
∵DE∥AB
∴DE⊥AC
∵點(diǎn)E是AC中點(diǎn)
∴點(diǎn)D是BC中點(diǎn)（4分）
∴OD⊥DE  （5分）
∵AO=OD
∴四邊形AODE是正方形（6分）
∵AB=2
∴AD=

2

∴

AB•AD

AB+AD

=

2 2

2+ 2

=

2

(2-

2

)=2

2

-2   （8分）
②由圖形可知，S_陰影=S_{正方形AODC}-S_扇形OAD∵S_正方形=1×1=1平方單位（9分）
∵S_扇形=

1

4

π•12=

1

4

π平方單位（10分）
∴S_陰影=1-

1

4

π平方單位（11分）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了三角形的中位線定理、切線的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．