Question

如圖，已知A（a，b），AB⊥y軸于B，且滿足

a-2

+（b-2）²=0，

（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別以AB，AO為邊作等邊三角形△ABC和△AOD，如圖1試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
（3）如圖2過A作AE⊥x軸于E，F(xiàn)，G分別為線段OE，AE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠FBG=45°，試探究

OF+AG

FG

的值是否發(fā)生變化？如果不變，請說明理由并求其值；如果變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次根式以及偶次方都是非負(fù)數(shù)，兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，則每個(gè)數(shù)一定同時(shí)等于0，即可求解；
（2）連接OC，只要證明OC是∠AOD的角平分線即可判斷AC=CD，求出∠ACD的度數(shù)即可判斷位置關(guān)系；
（3）延長GA至點(diǎn)M，使AM=OF，連接BM，由全等三角形的判定定理得出△BAM≌△BOF，△FBG≌△MBG，故可得出FG=GM=AG+OF，由此即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：a-2=0且b-2=0，
解得：a=2，b=2，
則A的坐標(biāo)是（2，2）；

（2）AC=CD，且AC⊥CD．
如圖1，連接OC，CD，
∵A的坐標(biāo)是（2，2），
∴AB=OB=2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠OBC=30°，OB=BC，
∴∠BOC=∠BCO=75°，
∵在直角△ABO中，∠BOA=45°，
∴∠AOC=∠BOC-∠BOA=75°-45°=30°，
∵△OAD是等邊三角形，
∴∠DOC=∠AOC=30°，
即OC是∠AOD的角平分線，
∴OC⊥AD，且OC平分AD，
∴AC=DC，
∴∠ACO=∠DCO=60°+75°=135°，
∴∠ACD=360°-135°-135°=90°，
∴AC⊥CD，
故AC=CD，且AC⊥CD．


（3）不變．
延長GA至點(diǎn)M，使AM=OF，連接BM，
∵在△BAM與△BOF中，

AB=OB ∠BAM=∠BOF AM=OF

，
∴△BAM≌△BOF（SAS），
∴∠ABM=∠OBF，BF=BM，
∵∠OBF+∠ABG=90°-∠FBG=45°，
∴∠MBG=45°，
∵在△FBG與△MBG中，

BM=BF ∠MBG=∠FBG BG=BG

，
∴△FBG≌△MBG（SAS），
∴FG=GM=AG+OF，
∴

OF+AG

FG

=1．

點(diǎn)評：本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及到非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．