Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r（r＞1），P是圓內(nèi)與圓心C不重合的點(diǎn)，⊙C的“完美點(diǎn)”的定義如下：若直線CP與⊙C交于點(diǎn)A，B，滿足|PA﹣PB|=2，則稱點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”，如圖為⊙C及其“完美點(diǎn)”P(pán)的示意圖．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，
①點(diǎn)M（ ，0）⊙O的“完美點(diǎn)”，點(diǎn)N（0，1）⊙O的“完美點(diǎn)”，點(diǎn)T（﹣ ，﹣ ）⊙O的“完美點(diǎn)”（填“是”或者“不是”）；
②若⊙O的“完美點(diǎn)”P(pán)在直線y= x上，求PO的長(zhǎng)及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）⊙C的圓心在直線y= x+1上，半徑為2，若y軸上存在⊙C的“完美點(diǎn)”，求圓心C的縱坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）不是；是；是；解：根據(jù)題意,,PA﹣PB,=2,∴,OP+2﹣（2﹣OP）,=2,∴OP=1．若點(diǎn)P在第一象限內(nèi),作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,如圖1中,∵點(diǎn)P在直線y= x上,OP=1,∴OQ= ,PQ= ．∴P（ , ）．若點(diǎn)P在第三象限內(nèi),根據(jù)對(duì)稱性可知其坐標(biāo)為（﹣ ,﹣ ）．綜上所述,PO的長(zhǎng)為1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ , ）或（﹣ ,﹣ ）
（2）解：對(duì)于⊙C的任意一個(gè)“完美點(diǎn)”P(pán)都有|PA﹣PB|=2，

∴|CP+2﹣（2﹣CP）|=2．

∴CP=1．

∴對(duì)于任意的點(diǎn)P，滿足CP=1，都有|CP+2﹣（2﹣CP）|=2，

∴|PA﹣PB|=2，故此時(shí)點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”．因此，⊙C的“完美點(diǎn)”是以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓．

如圖2中，設(shè)直線y= x+1與y軸交于點(diǎn)D，當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的下方時(shí)，t的值最小．

設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，

∵⊙C的圓心在直線y= x+1上，

∴此直線和x軸，y軸的交點(diǎn)C（0，1），F(xiàn)（﹣ ，0），

∴OF= ，OD=1，

∵CE∥OF，

∴△DOF∽△DEC，

∴ = ，

∴ = ，

∴DE= ，t的最小值為1﹣ ．

當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的上方時(shí)，t的值最大．

同理可得t的最大值為1+ ．

綜上所述，t的取值范圍為1﹣ ≤t≤1+

【解析】解：（1）點(diǎn)M不是⊙O的“完美點(diǎn)”，

點(diǎn)N是⊙O的“完美點(diǎn)”，

點(diǎn)T是⊙O的“完美點(diǎn)”．

所以答案是不是，是，是．