Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠BPC=60°，AB與PC交于Q點。

（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；
（2）求證：；
（3）若∠ABP=15°，△ABC的面積為4，求PC的長．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°， ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等邊三角形； （2）如圖，過B作BD∥PA交PC于D，則∠BDP=∠APC=60°， 又∵∠AQP=∠BQD， ∴△AQP∽△BQD，， ∵∠BPD=∠BDP=60°， ∴PB=BD， ∴； （3）設正△ABC的高為h，則h=BC·sin60°， ∵BC·h=4，即BC·BC·sin60°=4，解得BC=4， 連接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E， 由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，從而得∠OCE=30°， ∴， 由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，于是∠POC=2∠PBC=150°， ∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°， 如圖，作等腰直角△RMN，在直角邊RM上取點G， 使∠GNM=15°，則∠RNG=30°，作GH⊥RN，垂足為H， 設GH=1，則cos∠GNM=cos15°=MN， ∵在Rt△GHN中，NH=GN·cos30°，GH=GN·sin30°， 于是RH=GH，MN=RN·sin45°， ∴cos15°=， 在圖中，作OF⊥PC于E， ∴PC=2FD=2OC·cos15°=。