Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，6），拋物線經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的函數(shù)解析式；

（3）點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連結(jié)ON、BN，當(dāng)點(diǎn)F在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△BON面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）E（0，3）（2）y＝x2﹣x（3）

【解析】

（1）先求出直線AB的解析式，從而根據(jù)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0，可得其縱坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)拋物線為y＝mx2+nx，代入A、B的坐標(biāo)，即可確定拋物線解析式；

（3）只需確定邊OB上高的最大值即可，設(shè)過(guò)點(diǎn)N且與直線OB平行的直線解析式為y＝x+c，當(dāng)且僅當(dāng)直線y＝x+c與拋物線y＝相切時(shí)△BON的面積最大，確定取得最大時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由S△BON＝S△OCB﹣S△ODN﹣S梯形NDCB，即可得出答案．

（1）設(shè)點(diǎn)A、B所在的直線解析式為y＝kx+b，

則

解得：

即直線AB的解析式為y＝ x+3，

令x＝0，得y＝3，

故E（0，3）．

（2）∵所求拋物線過(guò)原點(diǎn)，

∴設(shè)所求拋物線為y＝mx2+nx，

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，得：

解得：

∴拋物線的解析式為

（3）不難求出直線OB的解析式為y＝x，

要使△BON的面積最大，只需OB邊上的高最大即可，

設(shè)過(guò)點(diǎn)N且與直線OB平行的直線解析式為y＝x+c，

當(dāng)且僅當(dāng)直線y＝x+c與拋物線相切時(shí)△BON的面積最大，

由，消去y并整理得x2﹣6x﹣4c＝0，

當(dāng)△（﹣6）2﹣4×1×（﹣4c）＝0時(shí)，方程x2﹣6x﹣4c＝0的解為x＝3，

將x＝3代入，得y＝，

∴N（3，），

過(guò)點(diǎn)B、N分別作BC⊥x軸于點(diǎn)C，ND⊥x軸于點(diǎn)D，

S△BON＝S△OCB﹣S△ODN﹣S梯形NDCB＝