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        1. (2013•南平)如圖,已知點A(0,4),B(2,0).
          (1)求直線AB的函數(shù)解析式;
          (2)已知點M是線段AB上一動點(不與點A、B重合),以M為頂點的拋物線y=(x-m)2+n與線段OA交于點C.
          ①求線段AC的長;(用含m的式子表示)
          ②是否存在某一時刻,使得△ACM與△AMO相似?若存在,求出此時m的值.
          分析:(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為:y=kx+b,將A、B兩點的坐標(biāo)代入,運用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式;
          (2)①先由拋物線的頂點式為y=(x-m)2+n得出頂點M的坐標(biāo)為(m,n),由點M是線段AB上一動點,得出n=-2m+4,則y=(x-m)2-2m+4,再求出拋物線y=(x-m)2+n與y軸交點C的坐標(biāo),然后根據(jù)AC=OA-OC即可求解;
          ②過點M作MD⊥y軸于點D,則D點坐標(biāo)為(0,-2m+4),AD=OA-OD=2m,由勾股定理求出AM=
          5
          m.在△ACM與△AMO中,由于∠CAM=∠MAO,∠MCA>∠AOM,所以當(dāng)△ACM與△AMO相似時,只能是△ACM∽△AMO,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出
          AC
          AM
          =
          AM
          AO
          ,即
          -m2+2m
          5
          m
          =
          5
          m
          4
          ,解方程求出m的值即可.
          解答:解:(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為:y=kx+b.
          ∵點A坐標(biāo)為(0,4),點B坐標(biāo)為(2,0),
          b=4
          2k+b=0
          ,解得:
          k=-2
          b=4
          ,
          即直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+4;

          (2)①∵以M為頂點的拋物線為y=(x-m)2+n,
          ∴拋物線頂點M的坐標(biāo)為(m,n).
          ∵點M在線段AB上,∴n=-2m+4,
          ∴y=(x-m)2-2m+4.
          把x=0代入y=(x-m)2-2m+4,
          得y=m2-2m+4,即C點坐標(biāo)為(0,m2-2m+4),
          ∴AC=OA-OC=4-(m2-2m+4)=-m2+2m;

          ②存在某一時刻,能夠使得△ACM與△AMO相似.理由如下:
          過點M作MD⊥y軸于點D,則D點坐標(biāo)為(0,-2m+4),
          ∴AD=OA-OD=4-(-2m+4)=2m.
          ∵M不與點A、B重合,∴0<m<2,
          又∵MD=m,∴AM=
          AD2+MD2
          =
          5
          m.
          ∵在△ACM與△AMO中,∠CAM=∠MAO,∠MCA>∠AOM,
          ∴當(dāng)△ACM與△AMO相似時,假設(shè)△ACM∽△AMO,
          AC
          AM
          =
          AM
          AO
          ,即
          -m2+2m
          5
          m
          =
          5
          m
          4
          ,
          整理,得 9m2-8m=0,解得m=
          8
          9
          或m=0(舍去),
          ∴存在一時刻使得△ACM與△AMO相似,且此時m=
          8
          9
          點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,難度適中.利用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵.
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