Question

7．小東同學(xué)在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)圖象以后，自己提出了這樣一個(gè)問題：
探究：函數(shù)$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$的圖象與性質(zhì)．
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了如下探究：下面是小東的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完成：
（1）函數(shù)$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$的自變量x的取值范圍是x≠1；
（2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．

x

…

-2

-1

0

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{3}{2}$

2

3

4

…

y

…

$\frac{25}{6}$

$\frac{3}{2}$

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{15}{8}$

$-\frac{53}{18}$

$\frac{55}{18}$

$\frac{17}{8}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{5}{2}$

m

…

則m的值是$\frac{29}{6}$；
（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；
（4）小東進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是$（2，\frac{3}{2}）$，結(jié)合函數(shù)的圖象，
寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）：當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減�。�

Answer 1

分析 （1）分式的分母不等于零；
（2）根據(jù)圖表可知當(dāng)x=4時(shí)的函數(shù)值為m，把x=4代入解析式即可求得；
（3）根據(jù)坐標(biāo)系中的點(diǎn)，用平滑的直線連接即可；
（4）觀察圖象即可得出該函數(shù)的其他性質(zhì)．

解答 解：（1）由$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$知，x-1≠0，即x≠1，所以變量x的取值范圍是x≠1．
故答案是：x≠1；

（2）把x=4代入得到：m=$\frac{1}{2}{（4-1）^2}+\frac{1}{4-1}$=$\frac{29}{6}$，
即m的值是$\frac{29}{6}$．
故答案是：$\frac{29}{6}$；

（3）如圖：
  ；

（4）該函數(shù)的其他性質(zhì)：當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減��；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小等．
故答案是：當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減�。�

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖表畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．