Question

（2013•徐匯區(qū)一模）拋物線y=mx²-5mx+n與y軸正半軸交于點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），且OC²=OA•OB．
（1）求拋物線的解析式；                                        
（2）點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PBC和△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意，得拋物線對稱軸是直線x=

5

2

，并且A和B關(guān)于直線x=

5

2

對稱，因?yàn)辄c(diǎn)B（1，0），所以A（4，0），又因?yàn)镺C²=OA•OB，進(jìn)而求出OC的長，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)可求，從而求出拋物線的解析式；  
（2）首先△BOC∽△COA，所以∠OCB=∠OAC，所以當(dāng)△PBC和△ABC相似時(shí)，分兩種情況①當(dāng)

CP

BC

=

AB

AC

時(shí)②當(dāng)

CP

BC

=

AC

AB

時(shí)分別求出符合題意的OP的長，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，得拋物線對稱軸是直線x=

5

2

，
∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x=

5

2

對稱，點(diǎn)B（1，0），
∴A（4，0），
∵OC²=OA•OB=4×1=4，
∴OC=2，
∵點(diǎn)C在y軸正半軸上，
∴C（0，2），
∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2；
（2）由題意，可得AB=3，BC=

5

，AC=2

5

，
∵OC²=OA•OB，
∴

OB

OC

=

OC

OA

，
又∠BOC=∠COA，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OCB=∠OAC，
∴△PBC和△ABC相似時(shí)，分下列兩種情況：
①當(dāng)

CP

BC

=

AB

AC

時(shí)，得

CP

5

=

3

2 5

，∴CP=

3

2

，
∴OP=OC-CP=2-

3

2

=

1

2

，
∴P(0，

1

2

)；
②當(dāng)

CP

BC

=

AC

AB

時(shí)，得

CP

5

=

2 5

3

，∴CP=

10

3

，
∴OP=CP-OC=

10

3

-2=

4

3

，
∴P(0，-

4

3

)，
綜合①、②當(dāng)△PBC和△ABC相似時(shí)P(0，

1

2

)或P(0，-

4

3

)．

點(diǎn)評：本題考查了求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要注意分類討論的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用，防止漏解．