Question

設是任意兩個不等實數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式的實數(shù)的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為．對于一個函數(shù)，如果它的自變量與函數(shù)值滿足：當時，有，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．

   （1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；

   （2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；

   （3）若二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求實數(shù)的值．

Answer 1

解：（1）是；

由函數(shù)的圖象可知，當時，函數(shù)值隨著自變量的增大而減少，而當時，；時，，故也有，

      所以，函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”.

（2）因為一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，所以根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，必有：

①當時， ，解之得，，

②當時， ，解之得，，

         故一次函數(shù)的解析式為或.     

（3）由于函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為，

頂點為，由題意根據(jù)圖象，分以下三種情況討論：

①當時，必有時，且時，，

即方程必有兩個不等實數(shù)根，解得，

而分布在2的兩邊，這與矛盾，舍去；

         ②當時，必有時，且 時，，

即

（1）-（2）得 代入（1）得 或 （舍去）,

故此時有滿足題意；

③ 當時，必有函數(shù)值的最小值為，

            由于此二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，故必有，

            從而有，而當時，，即得點；

 又點關于對稱軸的對稱點為，

由“閉函數(shù)”的定義可知必有，, 又由①知

故可得，符合題意.

綜上所述，,或，為所求的實數(shù).