Question

如圖，菱形ABCD的邊長及對角線BD的長都為m，且關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+m+5=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)E、F分別為AD、CD上的兩點(diǎn)，滿足AE+CF=m．
（1）求四邊形EBFD的面積；
（2）判斷△BEF的形狀，并加以證明．

Answer 1

解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+m+5=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴[-（m+2）]²-4（m+5）=0，
解得：m=±4
∵m＞0，
∴m=4，
∴菱形ABCD的邊長為4，對角線BD=4，
∴AB=AD=BD=4，BC=CD=BD=4，
∴△ABD與△BCD都是等邊三角形，
∴∠BDE=∠C=60°，
∵AE+CF=m=4，
∴CF=4-AE，
又∵DE=AD-AE=4-AE，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
∵，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴四邊形EBFD的面積=△DBC的面積，
連接AC，交BD于O，
∵四邊形ABCD是菱形，∠DCB=60°，
∴AC⊥BD，∠BCO=30°，
∴CO=2，
∴四邊形EBFD的面積=△DBC的面積=×DB×CO=4×2=4；

（2）△BEF是等邊三角形；
∵△BDE≌△BCF，
∴∠1=∠3，EB=FB，
∵∠DBC=60°，
∴∠2+∠1=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∴△BEF是等邊三角形．
分析：（1）首先根據(jù)一元二次方程根的判別式△=0可計(jì)算出m的值，進(jìn)而得到BD和菱形的邊長，再證明△BDE≌△BCF，可得四邊形EBFD的面積=△DBC的面積，然后計(jì)算出△DBC的面積即可；
（2）△BEF是等邊三角形，先根據(jù)△BDE≌△BCF得到EB=FB，進(jìn)而得到△BEF是等腰三角形，再證出∠2+∠3=60°，可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，關(guān)鍵是算出m的值，證明△BDE≌△BCF得到四邊形EBFD的面積=△DBC的面積．