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        1. 如圖,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,y軸為對(duì)稱軸,且經(jīng)過點(diǎn)A(3,3),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B(6,0).
          (1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
          (2)如果一次函數(shù)圖象與y軸相交于點(diǎn)C,E是拋物線上OA段上一點(diǎn),過點(diǎn)E作y軸平行的直線DE與直線AC交于點(diǎn)D,∠DOE=∠EDA,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
          (3)點(diǎn)M是線段AC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于F,以點(diǎn)O、C、M、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為菱形?若能,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.

          【答案】分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
          (2)由于DE∥y軸,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ODE=∠COD,∠EDA=∠OCD,而∠DOE=∠EDA,則∠DOE=∠OCD,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△OCD∽△DOE,所以O(shè)C:OD=OD:DE,即OD2=OC•DE,
          設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a2),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(a,6-a),利用勾股定理計(jì)算出OD2=a2+(6-a)2,=2a2-12a+36,而OC=6,DE=6-a-a2,則2a2-12a+36=6(6-a-a2),解得a=,即可確定E點(diǎn)坐標(biāo);
          (3)過O點(diǎn)作OF∥AC交拋物線于F,過F點(diǎn)作FM∥y軸交AC延長(zhǎng)線于M點(diǎn),交x軸于H點(diǎn),則四邊形OCMF為平行四邊形,易得∠OBC=45°,則∠HOF=45°,于是△OHF為等腰直角三角形,得到HO=HF,
          設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-m)(m>0),把F點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可求出m=-3,得到HO=HF=3,OF=OH=3,而OC=6,所以判斷四邊形OCMF不為菱形.
          解答:解:(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2
          把點(diǎn)A(3,3)代入得3=a×32,解得a=;
          設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,
          把點(diǎn)A(3,3)、點(diǎn)B(6,0)代入得,解得,
          所以二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式分別為y=x2,y=-x+6;

          (2)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),
          ∵DE∥y軸,
          ∴∠ODE=∠COD,∠EDA=∠OCD,
          ∵∠DOE=∠EDA,
          ∴∠DOE=∠OCD,
          ∴△OCD∽△DOE,
          ∴OC:OD=OD:DE,即OD2=OC•DE,
          設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a2),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(a,6-a),
          OD2=a2+(6-a)2,=2a2-12a+36,OC=6,DE=6-a-a2,
          ∴2a2-12a+36=6(6-a-a2),解得a1=0,a2=,
          ∵E是拋物線上OA段上一點(diǎn),
          ∴0<a<3,
          ∴a=,
          ∴點(diǎn)E坐標(biāo)為();

          (3)以點(diǎn)O、C、M、F為頂點(diǎn)的四邊形不能為菱形.理由如下:
          如圖,過O點(diǎn)作OF∥AC交拋物線于F,過F點(diǎn)作FM∥y軸交AC延長(zhǎng)線于M點(diǎn),交x軸于H點(diǎn),
          則四邊形OCMF為平行四邊形,
          ∵OC=OB=6,
          ∴△OCB為等腰直角三角形,
          ∴∠OBC=45°,
          ∴∠HOF=45°,
          ∴△OHF為等腰直角三角形,
          ∴HO=HF,
          設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-m)(m>0),
          把F(m,-m)代入y=x2得-m=m2,解得m1=0,m2=-3,
          ∴m=-3,
          ∴HO=HF=3,
          ∴OF=OH=3,
          而OC=6,
          ∴四邊形OCMF不為菱形.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)綜合題:會(huì)待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和菱形的判定方法;在幾何計(jì)算中常利用三角形相似比和勾股定理.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知:如圖,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,-2),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),B點(diǎn)在y軸上.點(diǎn)P為線精英家教網(wǎng)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合),過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
          (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
          (2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求線段PE的長(zhǎng)(用含x 的代數(shù)式表示);
          (3)點(diǎn)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn),若以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          作業(yè)寶如圖,二次函數(shù)數(shù)學(xué)公式的圖象與一次函數(shù)y2=x+b的圖象交于A(0,1),B兩點(diǎn).C(1,0)為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn).
          (1)求二次函數(shù)數(shù)學(xué)公式的解析式;
          (2)定義函數(shù)f:“當(dāng)自變量x任取一值時(shí),x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1或y2,若y1≠y2,函數(shù)f的函數(shù)值等于y1、y2中的較小值;若y1=y2,函數(shù)f的函數(shù)值等于y1(或y2).”當(dāng)直線數(shù)學(xué)公式(k>0)與函數(shù)f的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),求k的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年10月中考數(shù)學(xué)模擬試卷(22)(解析版) 題型:解答題

          已知:如圖,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,-2),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),B點(diǎn)在y軸上.點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合),過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
          (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
          (2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求線段PE的長(zhǎng)(用含x 的代數(shù)式表示);
          (3)點(diǎn)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn),若以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年北京市豐臺(tái)區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

          已知:如圖,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,-2),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),B點(diǎn)在y軸上.點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合),過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
          (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
          (2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求線段PE的長(zhǎng)(用含x 的代數(shù)式表示);
          (3)點(diǎn)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn),若以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年江蘇省無(wú)錫市新區(qū)九年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題

          已知如圖,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為,與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)右側(cè)),點(diǎn)、關(guān)于直線:對(duì)稱.

          (1)求、兩點(diǎn)坐標(biāo),并證明點(diǎn)在直線上;

          (2)求二次函數(shù)解析式;

          (3)過點(diǎn)作直線交直線點(diǎn),、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接、,求和的最小值.

          【解析】(1)根據(jù)一元二次方程求得A點(diǎn)坐標(biāo),代入直線求證,(2)通過點(diǎn)H、B關(guān)于直線L對(duì)稱,求得H的坐標(biāo),從而解出二次函數(shù)的解析式,(3)先求出HN+MN的最小值是MB, 再求出BM+MK的最小值是BQ,即和的最小值

           

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