Question

（2012•思明區(qū)質(zhì)檢）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)y₁=2x和函數(shù)y₂=-x+6，不論x取何值，y₀都取y₁與y₂二者之中的較小值．
（1）求y₀關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）現(xiàn)有二次函數(shù)y=x²-8x+c，若函數(shù)y₀和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的結(jié)論下，若函數(shù)y₀和y的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性解答；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出x≥2，再根據(jù)二次函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得x≤4，從而得解；
（3）①若函數(shù)y=x²-8x+c與y₀=-x+6只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式整理得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范圍內(nèi)，則符合；②若函數(shù)y=x²-8x+c與y₀=-x+6有兩個(gè)交點(diǎn)，先利用根的判別式求出c的取值范圍，方法一：先求出x=2與x=4時(shí)的函數(shù)值，然后利用一個(gè)解在x的范圍內(nèi)，另一個(gè)解不在x的范圍內(nèi)列出不等式組求解即可；方法二：聯(lián)立兩函數(shù)解析式整理得到關(guān)于x的一元二次方程，并求出方程的解，再根據(jù)兩個(gè)解一個(gè)在x的范圍內(nèi)，另一個(gè)解不在x的范圍內(nèi)列出不等式組求解即可．

解答：解：（1）聯(lián)立

y=2x y=-x+6

，
解得

x=2 y=4

，
所以，y₀=

2x(x≤2) -x+6(x≥2)

；
（說(shuō)明：兩個(gè)自變量取值范圍都含有等號(hào)或其中一個(gè)含等號(hào)均不扣分，都沒(méi)等號(hào)扣1分）

（2）∵對(duì)函數(shù)y₀，當(dāng)y₀隨x的增大而減小，
∴y₀=-x+6（x≥2），
又∵函數(shù)y的對(duì)稱軸為直線x=4，且a=1＞0，
∴當(dāng)x≤4時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴2≤x≤4；

（3）①若函數(shù)y=x²-8x+c與y₀=-x+6只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在2＜x＜4范圍內(nèi)，
則x²-8x+c=-x+6，
即x²-7x+（c-6）=0，
△=73-4c=0，
解得c=18

1

4

，
此時(shí)x₁=x₂=

7

2

，符合2＜x＜4，
所以，c=18

1

4

，
②若函數(shù)y=x²-8x+c與y₀=-x+6有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)在2≤x≤4范圍內(nèi)，另一個(gè)交點(diǎn)在2≤x≤4范圍外，
則△=73-4c＞0，
解得c＜18

1

4

，
方法一：對(duì)于y₀=-x+6，當(dāng)x=2時(shí)，y₀=4，
當(dāng)x=4時(shí)，y₀=2，
又∵當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y隨x的增大而減小，
若y=x²-8x+c與y₀=-x+6在2＜x＜4內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，
則當(dāng)x=2時(shí)，y＞y₀，當(dāng)x=4時(shí)，y＜y₀，
即當(dāng)x=2時(shí)，y≥4；當(dāng)x=4，時(shí)y≤2，
也就是

4-16+c＞4 16-32+c＜2

，
解得16＜c＜18，
由c＜18

1

4

，得16＜c＜18…..…（12分）
方法二：聯(lián)立

y=x2-8x+c y=-x+6

消去y得，
x²-7x+（c-6）=0，
解得x=

7± 73-4c

2

，
由函數(shù)y=x²-8x+c與y₀=-x+6的一個(gè)交點(diǎn)在2≤x≤4范圍內(nèi)，另一個(gè)交點(diǎn)在2≤x≤4范圍外，
可得：

2＜ 7+ 73-4c 2 ＜4 7- 73-4c 2 ＜2

或

2＜ 7- 73-4c 2 ＜4 7+ 73-4c 2 ＞4

，
解第一個(gè)不等式組，可得

c＜16 c＞18

即無(wú)解，
解第二個(gè)不等式組，可得

c＞16 c＜18

即16＜c＜18，
由c＜18

1

4

，得16＜c＜18．
綜上所述，c的取值范圍是：c=18

1

4

或16＜c＜18．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，以及交點(diǎn)的個(gè)數(shù)的討論求解，（3）難點(diǎn)在于要分只有一個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)橫坐標(biāo)在x的取值范圍內(nèi)，有兩個(gè)交點(diǎn)，但只有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在x的取值范圍內(nèi)，而另一交點(diǎn)在范圍外，比較復(fù)雜且難度較大．