Question

如圖，AD為Rt△ABC斜邊BC上的高，點E為DA延長線上一點，連接BE，過點C作CF⊥BE于點F，交AB、AD于M、N兩點．
（1）若線段AM、AN的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+

5

4

m2=0的兩個實數(shù)根，求證：AM=AN；
（2）若AN=

15

8

，DN=

9

8

，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）證明判別式△=0即可；
（2）充分利用題中的垂直關(guān)系，尋找已知和未知之間的關(guān)系，易證△EBD∽△CND，得DE：DC=BD：DN，即BD•DC=DN•ED．
因為AD⊥BC，則由射影定理有AD²=BD•DC，所以DN•ED=AD²．DN已知，AD易求，問題得解．

解答：解：（1）證明：△=(-2m)2-4(n2-mn+

5

4

m2)=-(m-2n)2≥0
∴（m-2n）²≤0
∴m-2n=0
∴△=0
∴一元二次方程x2-2mx+n2-mn+

5

4

m2=0
有兩個相等的實數(shù)根
∴AM=AN；

（2）∵∠BAC=90°，AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠DAC=∠DBA
∴△ADC∽△BDA
∴

AD

BD

=

DC

AD

∴AD²=BD•DC
∵CF⊥BE
∴∠FCB+∠EBD=90°
∵∠E+∠EBD=90°
∴∠E=∠FCB
∵∠NDC=∠EDB=90°
∴△EBD∽△CND
∴

ED

CD

=

BD

DN

∴BD•DC=DN•ED
∴AD²=DN•ED
∵AN=

15

8

，DN=

9

8

∴AD=DN+AN=3
∴3²=

9

8

DE
∴DE=8．

點評：此題考查了一元二次方程根的判別式與幾何知識的結(jié)合、相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強，難度較大．