Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=3，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從D、B同時(shí)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連接MP．已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出PN的長(zhǎng)；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若0秒≤x≤1秒，試求△MPA的面積S與時(shí)間x秒的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)圖象，求S的最大值．
（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否為一個(gè)等腰三角形？若能，試求出所有x的對(duì)應(yīng)值；若不能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可在直角三角形CPN中，根據(jù)CN的長(zhǎng)和∠CPN的正切值求出．
（2）三角形MPA中，底邊AM的長(zhǎng)為3-x，關(guān)鍵是求出MA邊上的高，可延長(zhǎng)NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可現(xiàn)在直角三角形CNP中求出PN的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)AB的長(zhǎng)，表示出PQ的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得出S的最大值．
（3）本題要分三種情況：
①M(fèi)P=PA，那么AQ=BN=

1

2

AM，可用x分別表示出BN和AM的長(zhǎng)，然后根據(jù)上述等量關(guān)系可求得x的值．
②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根據(jù)勾股定理即可求出x的值．
③MA=PA，不難得出AP=

5

3

BN，然后用x表示出AM的長(zhǎng)，即可求出x的值．

解答：解：（1）

12-4x

3

；


（2）延長(zhǎng)NP交AD于點(diǎn)Q，則PQ⊥AD，由（1）得：PN=

12-4x

3

，
則PQ=QN-PN=4-

12-4x

3

=

4

3

x依題意，
可得：AM=3-x，S=

1

2

AM•PQ=

1

2

（3-x）•

4x

3

=2x-

2

3

x²=-

2

3

（x-

3

2

）²+

3

2

∵0≤x≤1
即函數(shù)圖象在對(duì)稱軸的左側(cè)，函數(shù)值S隨著x的增大而增大．

∴當(dāng)x=1時(shí)，S有最大值，S_最大值=

4

3

（3）△MPA能成為等腰三角形，共有三種情況，以下分類說(shuō)明：
①若PM=PA，
∵PQ⊥MA，
∴四邊形ABNQ是矩形，
∴QA=NB=x，
∴MQ=QA=x，
又∵DM+MQ+QA=AD
∴3x=3，即x=1
②若MP=MA，則MQ=3-2x，PQ=

4

3

x，MP=MA=3-x
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP²=MQ²+PQ²
∴（3-x）²=（3-2x）²+（

4

3

x）²，
解得：x=

54

43

（x=0不合題意，舍去）
③若AP=AM，
由題意可得：AP=

5

3

x，AM=3-x
∴

5

3

x=3-x，
解得：x=

9

8

綜上所述，當(dāng)x=1，或x=

54

43

，或x=

9

8

時(shí)，△MPA是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)性問(wèn)題，考查了圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識(shí)．（3）題要按等腰三角形腰和底的不同分類討論．