Question

如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD上一點(diǎn)（不與C，D重合），連接AE，過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F．
（1）若DE=2，求

BF

AB

的值；
（2）設(shè)AE=x，BF=y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，寫出自變量x的取值范圍；
②問當(dāng)點(diǎn)E從D運(yùn)動(dòng)到C，BF的值是增大還是減小？說明理由．
③當(dāng)△AEB為等腰三角形時(shí)，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)△ABF∽△EDA中的成比例線段可知

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

；
（2）①直接利用（1）中結(jié)果表示為：y=

15

x

；
②其利用其單調(diào)性可知：y隨x的增大而減�。�
③當(dāng)△AEB為等腰三角形時(shí)，有3種情況：
a、當(dāng)AB=BE時(shí)，BF=

3 10

2

b、當(dāng)AE=BE時(shí)，BF=

30 61

61

c、當(dāng)AB=AE=5時(shí)，BF=AD=3．

解答：解：（1）∵DE=2，AD=3，
∴AE=

13

，
∵△ABF∽△EDA
∴

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

；

（2）根據(jù)（1）可知：
①

5

x

=

y

3

即y=

15

x

，3＜x＜

34

；
②減小，因?yàn)閥=

15

x

中，y隨x的增大而減��；
③當(dāng)△AEB為等腰三角形時(shí)，有3種情況：
a、當(dāng)AB=BE時(shí)，則BE=5，則CE=4，DE=1，AE=

10

，AF=

10

2

，∴BF=

3 10

2

；
b、當(dāng)AE=BE時(shí)，E為CD中點(diǎn)，則DE=2.5，AE=

61

2

，所以BF=

30 61

61

；
c、當(dāng)AB=AE=5時(shí)，△ABF≌△AED，則BF=AD=3．
所以BF的值為：

3 10

2

或

30 61

61

或3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)和矩形的綜合題．解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的關(guān)系式的幾何意義．在解決第三問時(shí)要把三種情況都考慮進(jìn)去，不要漏掉一種情況，靈活運(yùn)用三角形相似或勾股定理解題．