Question

如圖，二次函數(shù)y=

2

3

x2-

1

3

x的圖象經(jīng)過△AOB的三個頂點(diǎn)，其中A（-1，m），B（n，n）
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）在坐標(biāo)平面上找點(diǎn)C，使以A、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
①這樣的點(diǎn)C有幾個？
②能否將拋物線y=

2

3

x2-

1

3

x平移后經(jīng)過A、C兩點(diǎn)？若能，求出平移后經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的一條拋物線的解析式；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A（-1，m）代入函數(shù)式而解得m的值，同理解得n值，從而得到A，B的坐標(biāo)；
（2）①由題意可知：這樣的C點(diǎn)有3個，
②能，分別考慮函數(shù)圖象經(jīng)過三個點(diǎn)，從而得到函數(shù)方程．

解答：解：（1）∵y=

2

3

x2-

1

3

x的圖象過點(diǎn)A（-1，m）
∴m=

2

3

×(-1)2-

1

3

×(-1)
即m=1
同理：n=

2

3

n2-

1

3

n
解之，得n=0（舍）或n=2
∴A（-1，1），B（2，2）

（2）①由題意可知：這樣的C點(diǎn)有3個．
如圖：當(dāng)OA是對角線時，C是過O平行于AB的直線，以及過A平行于OB的直線的交點(diǎn)，
設(shè)直線OB的解析式是y=kx，則2=2k，解得：k=1，
設(shè)直線AC的解析式是：y=x+c，則-1+c=1，解得：c=2，直線的解析式是y=x+2，
設(shè)直線AB的解析式是：y=mx+n，則

-m+n=1 2m+n=2

，解得：

m= 1 3 n= 4 3

，即直線的解析式是：y=

1

3

x+

4

3

，
設(shè)直線OC的解析式是：y=

1

3

x，
解方程組

y=x+2 y= 1 3 x

，解得：

x=-3 y=-1

，
則C的坐標(biāo)是（-3，-1）；
同理，當(dāng)AB是對角線時，C的坐標(biāo)是（1，3）；
OB是對角線時，C的坐標(biāo)是（3，1）．
故：C₁（-3，-1），C₂（1，3），C₃（3，1）．
②能
當(dāng)平移后的拋物線經(jīng)過A、C₁兩個點(diǎn)時，將B點(diǎn)向左平移3個單位再向下平移1個單位．
使點(diǎn)B移到A點(diǎn)，這時A、C₁兩點(diǎn)的拋物線的解析式為y+1=

2

3

(x+3)2-

1

3

(x+3)
即y=

2

3

x2+

11

3

x+4
附：另兩條平移后拋物線的解析式分別為：
i）經(jīng)過A、C₂兩點(diǎn)的拋物線的解析式為y=

2

3

x2+x+

4

3

ii）設(shè)經(jīng)過A、C₃兩點(diǎn)的拋物線的解析式為y=

2

3

x2+bx+c，
OC₃可看作線段AB向右平移1個單位再向下平移1個單位得到m，
則C₃（3，1）
依題意，得

1= 2 3 × (-1)2-b+c 1= 2 3 ×32+3b+ c

，
解得

b=- 4 3 c=-1

．
故經(jīng)過A、C₃兩點(diǎn)的拋物線的解析式為y=

2

3

x2-

4

3

x-1．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，（1）把A（-1，m）代入函數(shù)式而解得；（2）①由題意可知點(diǎn)C有幾個，②分別考慮函數(shù)圖象經(jīng)過三個點(diǎn)，從而得到函數(shù)方程．也從而確定能．本題有一定難度，在圖象上作好輔助線，考慮全面，而不至于漏解．