Question

【題目】我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱(chēng)這個(gè)三角形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)．

●特例感知

①等腰直角三角形 勾股高三角形（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)“是”或者“不是”）；

②如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)，CD是AB邊上的高．若，試求線段CD的長(zhǎng)度．

●深入探究

如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且CA＞CB，CD是AB邊上的高．試探究線段AD與CB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

●推廣應(yīng)用

如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中，CD為AB邊上的高，過(guò)點(diǎn)D向BC邊引平行線與AC邊交于點(diǎn)E．若，試求線段DE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】●特例感知:①是；②；

●深入探究： ，理由見(jiàn)解析；

●推廣應(yīng)用：2a．

【解析】試題分析：●特例感知

①根據(jù)勾股高三角形的定義進(jìn)行判斷即可.

②設(shè)根據(jù)勾股定理可得： ，根據(jù)勾股高三角形的定義列出方程，解方程即可.

●深入探究

根據(jù)勾股高三角形的定義結(jié)合勾股定理即可得出它們之間的關(guān)系.

●推廣應(yīng)用

運(yùn)用探究的結(jié)果進(jìn)行運(yùn)算即可.

試題解析：

●特例感知

① 是 ；

②設(shè)

根據(jù)勾股定理可得： ，

于是，

∴；

●深入探究

由可得： ，而，

∴，即；

●推廣應(yīng)用

過(guò)點(diǎn)A向ED引垂線，垂足為G，

∵“勾股高三角形”△ABC為等腰三角形，且，

∴只能是，由上問(wèn)可知……①．

又ED∥BC，∴……②．

而……③，

∴△AGD≌△CDB（AAS），于是．

易知△ADE與△ABC均為等腰三角形，

根據(jù)三線合一原理可知．

又∴，

∴．