Question

點P（x，y）在第一象限，且x+y=8，點A的坐標為（6，0），設△OPA的面積為S．
（1）用含x的解析式表示S，寫出x的取值范圍，畫出函數S的圖象；
（2）當點P的橫坐標為5時，△OPA的面積為多少？
（3）△OPA的面積能大于24嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的面積公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根據S＞0及已知條件，可求出x的取值范圍，根據一次函數的性質可畫出函數S的圖象；
（2）將x=5代入（1）中所求解析式，即可求出△OPA的面積；
（3）根據一次函數的性質及自變量的取值范圍即可判斷．
解答：解：（1）∵A和P點的坐標分別是（6，0）、（x，y），
∴△OPA的面積=OA•|y_P|，
∴S=×6×|y|=3y．
∵x+y=8，∴y=8-x．
∴S=3（8-x）=24-3x；
∵S=-3x+24＞0，
解得：x＜8；
又∵點P在第一象限，
∴x＞0，
即x的范圍為：0＜x＜8；
∵S=-3x+24，S是x的一次函數，
∴函數圖象經過點（8，0），（0，24）．
所畫圖象如下：


（2）∵S=-3x+24，
∴當x=5時，S=-3×5+24=9．
即當點P的橫坐標為5時，△OPA的面積為9；

（3）△OPA的面積不能大于24．理由如下：
∵S=-3x+24，-3＜0，
∴S隨x的增大而減小，
又∵x=0時，S=24，
∴當0＜x＜8，S＜24．
即△OPA的面積不能大于24．
點評：此題考查了一次函數的圖象與性質及三角形的面積，難度一般，解答本題的關鍵是正確地求出S與x的關系，另外作圖的時候要運用兩點作圖法，并且注意自變量的取值范圍．