Question

【題目】（1）如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是Q．若PA＝3，PB＝2，PC＝5，求∠BQC的度數(shù)．

（2）點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠BPA的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）150°

【解析】

（1）根據(jù)題意得出△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90°，才使點(diǎn)A與C重合，進(jìn)而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理得出∠PQC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠BQC的度數(shù)；

（2）將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△CBP'，由旋轉(zhuǎn)知，△APB≌△CP'B，即∠BPA=∠BP'C，P'B=PB=5，P'C=PA=12，進(jìn)而得出△PBP'也是正三角形，即∠PP'B=60°，PP'=5．

在△PP'C中，由勾股定理的逆定理得出∠PP'C=90°，從而可以得出結(jié)論．

（1）連接PQ．

由旋轉(zhuǎn)可知：，QC=PA=3．

又∵ABCD是正方形，

∴△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90°，才使點(diǎn)A與C重合，

即∠PBQ=90°，∴∠PQB=45°，PQ=4．

則在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．

即∠PQC=90°．

故∠BQC=90°+45°=135°．

（2）將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△CBP'，

此時(shí)點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P'．

由旋轉(zhuǎn)知，△APB≌△CP'B，即∠BPA=∠BP'C，P'B=PB=5，P'C=PA=12．

又∵△ABC是正三角形，∴∠ABP+∠PBC=60°，

∴∠CBP'+∠PBC=60°，∴∠PBP'=60°．

又∵P'B=PB=5，∴△PBP'也是正三角形，即∠PP'B=60°，PP'=5．

在△PP'C中，∵PC=13，PP'=5，P'C=12，∴PC2=PP'2+P'C2．

即∠PP'C=90°．

故∠BPA=∠BP'C=60°+90°=150°．