Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是射線AB、射線CB上的動點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB移動，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BG移動，點(diǎn)D、點(diǎn)E同時出發(fā)并且運(yùn)動速度相同．連接CD、DE．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D移動到線段AB的中點(diǎn)時，求證：DE=DC．

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上移動但不是中點(diǎn)時，試探索DE與DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D移動到線段AB的延長線上，并且ED⊥DC時，求∠DEC度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；

（2）DE=DC，理由見詳解；

（3）∠DEC=45°

【解析】

（1）由題意可知，所以，由等邊三角形及中點(diǎn)可知，而，所以可證，進(jìn)一步可證

（2）猜測，尋找條件證明即可.最常用的是證明兩個三角形全等，但圖中給出的三角形中并未出現(xiàn)全等三角形，所以添加輔助線：在射線AB上截取，這樣只要證明即可.利用等邊三角形的性質(zhì)及可知為等邊三角形，這樣通過兩個等邊三角形即可證明.

（3）按照第（2）問的思路，作出類似的輔助線：在射線CB上截取，用同樣的方法證明，又因為ED⊥DC，所以為等腰之間三角形，則∠DEC度數(shù)可求.

由題意可知

∵D為AB的中點(diǎn)

∵為等邊三角形，

（2）

理由如下：

在射線AB上截取，連接EF

∵為等邊三角形

∴為等邊三角形

由題意知

即

在和中，

（3）如圖，在射線CB上截取，連接DF

∵為等邊三角形

∴為等邊三角形

由題意知

即

在和中，

∵ED⊥DC

∴為等腰直角三角形