Question

【題目】已知二次函數(shù)中x和y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x … ﹣1 0 1 2 3 …

y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積；

（3）在拋物線(xiàn)上，是否存在一點(diǎn)Q，使△QBC中QC=QB？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P（，﹣），；（3）Q1（，﹣）、Q2（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）首先求得直線(xiàn)BC的解析式，過(guò)P作PN⊥x軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，然后根據(jù)S△BPC=S△PCM+S△PMB=PMON+PMNB，即可把S△BPC表示成P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；

（3）QC=QB，則Q就是線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，首先求得BC的解析式，然后解方程組即可．

解：（1）設(shè)y=a（x+1）（x﹣3）把（0，﹣3）代入可得：﹣3=a（0+1）（0﹣3）

解得：a=1則y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPC=×1×3+S△BPC，

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式是y=kx+b，

則，

解得：，

則直線(xiàn)BC的解析式是：y=x﹣3．

過(guò)P作PN⊥x軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3）則M（x，x﹣3）

∴MP=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x

S△BPC=S△PCM+S△PMB=PMON+PMNB

=PMOB=（﹣x2+3x）×3=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+（0＜x＜3）．

當(dāng)x=時(shí)，S△BPC的最大值為，則 S四邊形ABPC的最大值為：+=，

此時(shí)P（，﹣）；

（3）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)是（，﹣）．

設(shè)線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)的解析式是y=﹣x+c，則﹣+c=﹣，

解得c=0，

即BC的中垂線(xiàn)的解析式是y=﹣x．

根據(jù)題意得：，

解得：或．

則Q的坐標(biāo)是：Q1（，﹣）、Q2（，﹣）．