Question

如圖1，已知兩個(gè)反比例函數(shù)和（k₁＞k₂＞0）在平面直角坐標(biāo)系xOy第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，動(dòng)點(diǎn)A在的圖象上，AB∥y軸，與的圖象交于點(diǎn)B，AC、BD都與x軸平行，分別與、的圖象交于點(diǎn)C、D．
（1）用含k₁、k₂的代數(shù)式表示四邊形ACOB的面積．
（2）當(dāng)k₁=8，k₂=2時(shí)，
①若點(diǎn)A橫坐標(biāo)為2，求梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②將沿x軸翻折得到，動(dòng)點(diǎn)N在y₃上，若∠AON=90°，求的值．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)y₁=，y₂=，的圖象上，AG⊥x軸，AH⊥y軸，
∴S_矩形AHOG=k₁，S_△HOC=S_△BOG=
∴S_{四邊形ACOB}=S_矩形AHOG-（S_△HOC+S_△BOG=）=k₁-2×=k₁-k₂；

（2）①由題可知，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（2，1），C（，4），D（8，1）．
∵設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
∴，解得，
∴直線CD的解析式為y=-x+，
∵AB∥y軸，F(xiàn)為梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴x=2時(shí)，y=（-）×2+=
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）
②∵反比例函數(shù)與關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴反比例函的解析式為y=-，
∵點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=-的圖象上，
∴設(shè)N（x，-）（x＞0），
∵∠AON=90°，由①知A（2，4），
∴×（-）=-1，解得x=2或x=-2（舍去），
∴N（2，-1），
∴ON==，AO==2，
∴==2．
分析：（1）直接根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義進(jìn)行解答即可；
（2）①首先根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和雙曲線的解析式，可以分別求得點(diǎn)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)可以運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，根據(jù)題意，得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是2，再進(jìn)一步把x=2代入直線CD的解析式即可求得點(diǎn)F的縱坐標(biāo)；
②先根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出反比例函數(shù)的解析式，設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)互相垂直的兩條直線的關(guān)系求出N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出AO及ON的長(zhǎng)，故可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)函數(shù)的解析式及關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，涉及面較廣，難度適中．