Question

（2007•黃岡）我市高新技術(shù)開發(fā)區(qū)的某公司，用480萬元購(gòu)得某種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，并進(jìn)一步投入資金1520萬元購(gòu)買生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工，已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)40元．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷售單價(jià)，需定在100元到300元之間較為合理．當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬件；當(dāng)銷售單價(jià)超過100元，但不超過200元時(shí)，每件新產(chǎn)品的銷售價(jià)格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬件；當(dāng)銷售單價(jià)超過200元，但不超過300元時(shí)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為w（萬元）．（年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資成本）
（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求第一年的年獲利w與x間的函數(shù)關(guān)系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤(rùn)是多少？若虧損，最少虧損是多少？
（3）若該公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小虧損）后，兩年的總盈利不低于1842元，請(qǐng)你確定此時(shí)銷售單價(jià)的范圍．在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，列出分段函數(shù)．
（2）根據(jù)條件，求出二次函數(shù)解析式，從中找出最值以及相應(yīng)的自變量范圍．
（3）分情況進(jìn)行討論，找出最值以及相應(yīng)的自變量取值范圍．
解答：解：（1）這個(gè)顯然是一個(gè)分段函數(shù)，
y=20-
=-0.08x+28
100≤x＜200，
可見x=200元時(shí)，y=28-16=12（萬件）
y=12-=-0.1x+32，200≤x≤300．

（2）投資成本為480+1520=2000萬元
y=-0.08x+28，100≤x＜200，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.08x+28）-2000
=-0.08x²+31.2x-3120
=-0.08（x-195）²-78
可見第一年在100≤x＜200注定虧損，x=195時(shí)虧損最少，為78萬元
200≤x≤300，y=-0.1x+32，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.1x+32）-2000
=-0.1x²+36x-3280
=-0.1（x-180）²-40
可見第一年在200≤x≤300注定虧損，x=200時(shí)虧損最少，為80萬元
綜上可見，x=195時(shí)虧損最少，為78萬元．

（3）兩年的總盈利不低于1842萬元，可見第二年至少要盈利1842+78=1920萬元，既然兩年一塊算，第二年我們就不用算投資成本那2000萬元了．
第二年：
100≤x≤200時(shí)
第二年盈利=xy-40y=-0.08（x-195）²+1922≥1920
解不等式得到：190≤x≤200
200≤x≤300時(shí)
第二年盈利=xy-40y=-0.1（x-180）²+1960≥1920
解不等式得到：160≤x≤200，聯(lián)合200≤x≤300，也就只有x=200
綜上有190≤x≤200為解
這時(shí)候再看y=-0.08x+28，可見x=190時(shí)，y最大，為12.8
所以定價(jià)190元時(shí)候，銷售量最大．
點(diǎn)評(píng)：此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．