Question

如圖1，△ABC為等邊三角形，面積為S．D₁，E₁，F(xiàn)₁分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB，連接D₁E₁，E₁F₁，F(xiàn)₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用S表示△AD₁F₁的面積S₁=

1

4

，△D₁E₁F₁的面積S₁′=

1

4

；
（2）當(dāng)D₂，E₂，F(xiàn)₂分別是等邊△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB時(shí)，如圖②，求△AD₂F₂的面積S₂和△D₂E₂F₂的面積S₂′；
（3）按照上述思路探索下去，當(dāng)D_n，E_n，F(xiàn)_n分別是等邊△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB時(shí)（n為正整數(shù)），求△AD_nF_n的面積S_n，△D_nE_nF_n的面積S_n′．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，可以知道圖中四個(gè)小三角形都是全等的等邊三角形，所以面積相等，每個(gè)都是全部的

1

4

；
（2）與上問比較，發(fā)現(xiàn)分點(diǎn)的位置由原來的二等分點(diǎn)變成了現(xiàn)在的三等分點(diǎn)，同樣易證中間的小三角形是等邊三角形，而其余的三個(gè)全等，從而得出結(jié)果；
（3）與上問比較，只是分點(diǎn)的位置由原來的三等分點(diǎn)變成了（n+1）等分點(diǎn)，所以做法與（2）完全一樣．

解答：解：（1）設(shè)等邊△ABC的邊長是a，
∵AD₁=AF₁，∠A=60°，
∴△AD₁F₁是等邊三角形，
同理其余三個(gè)三角形都是等邊三角形，
∴△AD₁F₁≌△BE₁D₁≌△CF₁E₁≌△D₁E₁F₁，
∴S₁=

1

4

S，S₁'=

1

4

S．

（2）設(shè)△ABC的邊長為a，則△AD₂F₂的面積S2=

1

2

AD2•AF2sin∠A=

1

2

•

1

3

a•

2

3

a•sin60°=

3 a2

9×2

，
又因?yàn)椤鰽BC的面積S=

3

4

a2，所以S₂=

2

9

S，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
又∵AD₂=BE₂=CF₂，AF₂=BD₂=CE₂，
由“SAS”得出△AD₂F₂≌△BE₂D₂≌△CF₂E₂，
∴S₂′=S-3S₂=S-3×

2

9

S=

1

3

S．

（3）設(shè)△ABC的邊長是a，
則S_n=

1

2

•

1

n+1

a•

n

n+1

a•sin60°=

n

(n+1)2

S，
同理證明△AD_nF_n≌△BE_nD_n≌△CF_nE_n，
∴S_n′=S-3×

n

(n+1)2

S=

n2-n+1

(n+1)2

S．

點(diǎn)評(píng)：做有規(guī)律的題目時(shí)，在由特殊到一般的過程中，要善于抓住不變量，找到解題途徑．此題比較難，要求學(xué)生有比較好的分析問題、解決問題的能力．