Question

9．如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE． 
（1）求證：∠AEB=∠ADC；
（2）連接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)知∠BAC=60°，AB=AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠DAE=60°，AE=AD，從而得∠EAB=∠DAC，再證△EAB≌△DAC可得答案；
（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD為等邊三角形，即∠AED=60°，繼而由∠AEB=∠ADC=105°可得．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，
∴∠DAE=60°，AE=AD．
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB=∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DAC．
∴∠AEB=∠ADC．

（2）如圖，

∵∠DAE=60°，AE=AD，
∴△EAD為等邊三角形．
∴∠AED=60°，
又∵∠AEB=∠ADC=105°．
∴∠BED=45°．

點評 本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得三角形的全等是解題的關(guān)鍵．