Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點（A、B兩點除外），將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉角α得到△CEF，其中點E是點A的對應點，點F是點D的對應點．

（1）如圖1，當α=90°時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC；

（2）如圖2，當90°≤α≤180°時，AE與DF相交于點M．

①當點M與點C、D不重合時，連接CM，求∠CMD的度數(shù)；

②設D為邊AB的中點，當α從90°變化到180°時，求點M運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①135°；②．

【解析】

試題分析：（1）欲證明GF∥AC，只要證明∠A=∠FGB即可解決問題．

（2）①先證明A、D、M、C四點共圓，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解決問題．

②利用①的結論可知，點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，利用弧長公式即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF是由△CAD旋轉逆時針α得到，α=90°，∴CB與CE重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．

（2）①如圖2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠CDF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四點共圓，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．

②如圖3中，O是AC中點，連接OD、CM．

∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四點共圓，∴當α從90°變化到180°時，點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的長==，∴當α從90°變化到180°時，點M運動的路徑長為．