Question

【題目】已知,矩形中,,,的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、,垂足為.

(1)如圖,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長(zhǎng)；

(2)如圖,動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)自→→→停止,點(diǎn)自→→→停止.在運(yùn)動(dòng)過程中,

①已知點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求的值.

②若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)路程分別為、(單位:,),已知、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系式.(直接寫出答案，不要求證明)

Answer 1

【答案】（1）證明略，（2） ①秒. ②與滿足的函數(shù)關(guān)系式是

【解析】

試題（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據(jù)勾股定理即可求得AF的長(zhǎng)；

（2）分情況討論可知，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可.

試題解析：（1）證明:①∵四邊形是矩形

∴∥

∴,

∵垂直平分，垂足為

∴

∴≌

∴

∴四邊形為平行四邊形

又∵

∴四邊形為菱形

②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)，則

在中，

解得

∴

（2）①顯然當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),點(diǎn)在上，此時(shí)、、、四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在或上，也不能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形

∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),

∵點(diǎn)的速度為每秒10cm，點(diǎn)的速度為每秒6cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒

∴,

∴，解得

∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),秒.

②由題意得，以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)、在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上.

分三種情況:

i）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，,，即

ii）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，,，即

iii）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，,，即

綜上所述，與滿足的函數(shù)關(guān)系式是