Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為A（4，4），且拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，和x軸相交于另一點(diǎn)B，以AB為一邊在直線AB的右側(cè)畫正方形ABCD．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）能否將此拋物線沿著直線x=4平移，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過(guò)正方形ABCD的另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D若能，寫出平移后拋物線的解析式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若以點(diǎn)A（4，4）為圓心，r為半徑畫圓，請(qǐng)你探究：
①當(dāng)r=

 

時(shí)，⊙A上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；
②當(dāng)r=

 

時(shí)，⊙A上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；
③隨著r的變化，⊙A上到直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也隨著變化，請(qǐng)根據(jù)⊙A上到直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論相應(yīng)的r的值或取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線的解析式，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出其解析式．
根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出拋物線的對(duì)稱軸為x=4，已知O、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）．根據(jù)A（4，4）可得出∠AOB=45°，即△OAB為等腰直角三角形，因此O、A、D三點(diǎn)同線，直線BD與y軸平行，直線AC與x軸平行，因此D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，8），C點(diǎn)坐標(biāo)為（12，4）；
（2）可先設(shè)出平移后拋物線的解析式，然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出平移后拋物線的解析式，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）①此種情況為圓A與直線BD相離，由于圓心A到BD的距離為4，因此r=4-2=2．
②此種情況圓A與直線BD相交，設(shè)與BD垂直的半徑為AM，那么M到直線BD的距離為2，因此半徑AM=4+2=6．
③根據(jù)①②可知：當(dāng)0＜r＜2時(shí)0個(gè)；當(dāng)r=2時(shí)1個(gè)；當(dāng)2＜r＜6時(shí)2個(gè)；當(dāng)r=6時(shí)3個(gè)；
當(dāng)r＞6時(shí)，應(yīng)該有4個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離為2．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²+4，
則有：a（0-4）²+4=0，
解得a=-

1

4

．
∴y=-

1

4

（x-4）²+4．
根據(jù)A（4，4）可知，∠AOB=45°
∵AO=AB，
∴△AOB為等腰直角三角形．
∴∠OAB=90°，即O、A、D三點(diǎn)共線，
因此直線BD∥y軸，直線AC∥x軸，
則有：C（12，4）D（8，8）．

（2）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-4）²+4+h（h＞0），
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入有：4=-

1

4

（12-4）²+4+h，
解得h=16
∴平移后拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-4）²+20
當(dāng)x=8時(shí)，y=12≠8，
因此不能使平移后的拋物線恰好經(jīng)過(guò)正方形ABCD的另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D．

（3）①2；②6；
③當(dāng)0＜r＜2時(shí)0個(gè)；當(dāng)r=2時(shí)1個(gè)；當(dāng)2＜r＜6時(shí)2個(gè)；當(dāng)r=6時(shí)3個(gè)；當(dāng)r＞6時(shí)4個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，以及直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)．