Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC，AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F，
（1）試說明△ABD≌△BCE；
（2）△AEF與△ABE相似嗎？說說你的理由；
（3）BD²=AD•DF嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質，利用SAS證得△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可證∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，由此可以證明△AEF∽△BEA；
（3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，由此可以證明△BDF∽△ADB，然后可以得到

BD

AD

=

DF

BD

，即BD²=AD•DF．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE；

（2）△AEF與△ABE相似．
由（1）得：∠BAD=∠CBE，
又∵∠ABC=∠BAC，
∴∠ABE=∠EAF，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；

（3）BD²=AD•DF．
由（1）得：∠BAD=∠FBD，
又∵∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴

BD

AD

=

DF

BD

，
即BD²=AD•DF．

點評：本題利用了等邊三角形的性質和相似三角形的判定和性質求解，有一定的綜合性．