Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與A、B重合），連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PD，交直線BC于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)m=10時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；
（2）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在原圖中，連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）假設(shè)存在，從存在出發(fā)得到△PBC∽△DAP，利用相似三角形得到

PB

DA

=

BC

AP

，從而得到有關(guān)t的方程，求解即可得到答案；
（2）由已知 PQ⊥PD，所以只有當(dāng)DP=PQ時(shí)，△PQD為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得結(jié)論即可；
（3）根據(jù)題意分△ABC∽△DAP和△PBQ∽△ABC兩種情況列出比例式后即可用含有m的代數(shù)式表示出線段BQ的值即可．

解答：（1）假設(shè)當(dāng)m=10時(shí)，存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合（如下圖），設(shè)AP=x
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
又∠ADP+∠APD=90°，
∴∠BPC=∠ADP，
又∠B=∠A=90°，
∴△PBC∽△DAP，
∴

PB

DA

=

BC

AP

，
∴

10-x

4

=

4

x

，
∴x²-10x+16=0
解得：x=2或8，
∴存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，出此時(shí)AP的長(zhǎng)2 或8．
（2）由已知 PQ⊥PD，所以只有當(dāng)DP=PQ時(shí)，△PQD為等腰三角形（如圖），

∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，（5分）
∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4，（6分）
∴以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的
函數(shù)關(guān)系式為：S_{四邊形PQCD}=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△QBP
=DA×AB-

1

2

×DA×AP-

1

2

×PB×BQ
=4m-

1

2

×4×（m-4）-

1

2

×4×（m-4）=16．
（3）如下圖，∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠BPQ=∠ADP，
∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，
∴△ABC∽△DAP，
∴

AB

DA

=

BC

AP

，
即

m

4

=

4

AP

，
∴AP=

16

m

．
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC，

PB

AB

=

BQ

BC

，即

m- 16 m

m

=

BQ

4

，
∴BQ=4-

64

m2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的幾何圖形中整理出相似三角形的模型并利用相似三角形的知識(shí)解決問(wèn)題，此類考題是中考的熱點(diǎn)考題之一，應(yīng)重點(diǎn)掌握．