Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，E是斜邊AB的中點(diǎn)，且E在邊AC的垂直平分線上，作CD⊥BA，垂足為D．若∠ACE=30°，試證明：
（1）△CEB是等邊三角形；
（2）AB=4BD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出AE=CE=BE，求出∠A=30°，求出∠B=60°，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可．
（2）根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AB=2BC，求出∠BCD=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC=2BD，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，E是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CE=BE=AE，
∵∠ACE=30°，
∴∠A=∠ACE=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°，
∵BE=CE，
∴△CEB是等邊三角形．

（2）∵△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD，
∴AB=4BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．