Question

如圖是一個矩形桌子，一小球從P撞擊到Q，反射到R，又從R反射到S，從S反射回原處P，入射角與反射角相等（例如∠PQA=∠RQB等），已知AB=8，BC=15，DP=3．則小球所走的路徑的長為

34

．

Answer 1

分析：求出四邊形SPQR是平行四邊形，推出SR=PQ，PS=QR，證三角形全等得出SR=PQ，RQ=PS，根據相似求出DS，根據勾股定理求出即RS，RQ，PQ，SP即可．

解答：解：∵入射角與反射角相等，
∴∠BQR=∠AQP，∠APQ=∠SPD，∠CSR=∠DSP，∠CRS=∠BRQ，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠DPS+∠DSP=90°，∠AQP+∠APQ=90°，
∴∠DSP=∠AQP=∠CSR=∠BQR，
∴∠RSP=∠RQP，
同理∠SRQ=∠SPQ，
∴四邊形SPQR是平行四邊形，
∴SR=PQ，PS=QR，
在△DSP和△BQR中

∠BQR=∠DSP ∠D=∠B PS=RQ

∴△DSP≌△BQR，
∴BR=DP=3，BQ=DS，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，BC=AD=15，
∴AQ=8-DS，AP=15-3=12，
∵∠SPD=∠APQ，
∴△SDP∽△QAP，
∴

DP

DS

=

AP

AQ

∴

3

DS

=

12

8-DS

，
DS=

8

5

，
在Rt△DSP中，由勾股定理得：PS=QR=

32+( 8 5 )2

=

17

5

，
同理PQ=RQ=

68

5

，
∴QP+PS+SR+QR=2×

17

5

+2×

68

5

=34，
故答案為：34．

點評：本題考查了相似三角形性質和判定，矩形性質，勾股定理，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，有一定的難度．