Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一動點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作直線PM，使PM⊥AD．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動2秒時，設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E，求△APE的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動2秒時，另一動點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運(yùn)動，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動，在BC上以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動．過Q作直線QN，使QN∥PM．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時間為t秒（0≤t≤10），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S cm²．求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）分別表示出AP、AE和PE的長，利用三角形的面積求法求得三角形APE的面積即可；
（2）分0≤t≤6、6≤t≤8和8≤t≤10三種情況分別表示出有關(guān)線段求得兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系即可．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動2秒時，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=

3

．
∴S_△APE=

3

2

．

（2）當(dāng)0≤t≤6時，點(diǎn)P與點(diǎn)Q都在AB上運(yùn)動，
設(shè)PM與AD交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F，
則AQ=t，AF=

t

2

，QF=

3

2

t，AP=t+2，AG=1+

t

2

，PG=

3

+

3

2

t．
∴此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=

3

2

t+

3

2

．
當(dāng)6≤t≤8時，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，點(diǎn)Q仍在AB上運(yùn)動．
設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F，
則AQ=t，AF=

t

2

，DF=4-

t

2

，QF=

3

2

t，BP=t-6，CP=10-t，PG=（10-t）

3

，
而BD=4

3

，
故此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=-

5 3

8

t²+10

3

t-34

3

．
當(dāng)8≤t≤10時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在BC上運(yùn)動．
設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與DC交于點(diǎn)F，
則CQ=20-2t，QF=（20-2t）

3

，CP=10-t，PG=（10-t）

3

．
∴此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=

2 3

3

t²-30

3

t+150

3

．
故S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=

3 2 t+ 3 2                      (0≤t≤6) - 5 3 8 t2+10 3 t-34 3 (6≤t≤8) 3 3 2 t2-30 3 t+150 3 (8≤t≤10)

．

點(diǎn)評：本題考查了相似形的綜合知識，特別是第（2）題中的分類討論思想更是中考的熱點(diǎn)考題之一，應(yīng)重點(diǎn)掌握．