Question

（2013•沙灣區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=-

1

4

x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（4，0），B（-4，-4），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）證明：∠BAO=∠CAO（其中O是原點(diǎn)）；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使|CP+BP|的值最�。�
（3）若E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過E作y軸的平行線，分別交此二次函數(shù)圖象及x軸于F、D兩點(diǎn)．請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)E，使DE=2DF？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，得出tan∠BAO=tan∠CAO即可得出答案；
（2）根據(jù)C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)為C′（2，2），P點(diǎn)為BC′與x=1的交點(diǎn)，此時(shí)|CP+BP|的值最小，得出P的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)圖象得出DE，DF的長，進(jìn)而分別求出x的值即可．

解答：（1）證明：過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)D，
∵二次函數(shù)y=-

1

4

x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（4，0），B（-4，-4），
∴

- 1 4 ×16+4b+c=0 - 1 4 ×16-4b+c=-4

，
解得：

b= 1 2 c=2

∴拋物線解析式為y=-

1

4

x²+

1

2

x+2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2），
∴CO=2，AO=4，BQ=4，AQ=4+4=8，
∵tan∠BAO=tan∠CAO=0.5，
∴∠BAO=∠CAO；

（2）解：∵C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)為C′（2，2），P點(diǎn)為BC′與x=1的交點(diǎn)，
∴P的坐標(biāo)為（1，1），
此時(shí)|CP+BP|的值最��；

（3）解：AB：y=

1

2

x-2，設(shè)E（x，

1

2

x-2），（-4＜x＜4），
則F（x，-

1

4

x²+

1

2

x+2），DE=|

1

2

x-2|=2-

1

2

x，DF=|-

1

4

x²+

1

2

x+2|
當(dāng)2-

1

2

x=

1

2

x²+x+4，
解得：x₁=-1，x₂=4（舍去），所以E（-1，-

5

2

），
當(dāng)2-

1

2

x=-

1

2

x²-x-4，
解得：x₁=-3，x₂=4（舍去），所以E（-3，-

7

2

）．
綜上所述：點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（-1，-

5

2

），（-3，-

7

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及軸對(duì)稱求最小值問題和點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，注意利用絕對(duì)值的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．